Narysować zbiór liczb zespolonych na płaszczyźnie

[Sosjerka]

\(\displaystyle{ z \in C:Im( z^{3} )>Re( z^{3} )}\)

Rozwiązuję to tak:
jako \(\displaystyle{ z = a + ib}\)
\(\displaystyle{ (a+ib)^{3}= a^{3} + 3a^{2} ib+3ai^{2}b^{2} + i^{3} b^{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{3} + 3a^{2}ib - 3ab^{2} - ib^{3}}\)

\(\displaystyle{ 3a^{2}b - b^{3} > a^{3} - 3ab^{2}}\)
\(\displaystyle{ -a^{3} + 3ab^{2} +3a^{2}b - b^{3}>0}\)

Nie wiem, co zrobić z tym dalej. Jakaś podpowiedź?

[jarek4700]

Takie podejście nie jest w tym przypadku najlepsze. Lepiej robić z postaci trygonometrycznej.

[Sosjerka]

Hmm.

\(\displaystyle{ z=|z|(cos \alpha +isin \alpha )}\)
\(\displaystyle{ z^{3} = |z|^{3} (cos 3\alpha +isin 3\alpha )}\)

Stąd
\(\displaystyle{ |z|^{3}sin 3\alpha>|z|^{3}cos 3\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin 3\alpha>cos 3\alpha}\)

Nie widzę tego, żeby w tej postaci było prościej.

[jarek4700]

podstaw \(\displaystyle{ t=3\alpha}\).

\(\displaystyle{ \sin t > \cos t}\) nie jest tak trudno rozwiązać. Można graficznie albo zauważyć że:
\(\displaystyle{ \sin t - \cos t = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\sin t + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos t\right) = \sqrt{2}\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)}\)

I to musi być większe od zera.