Równanie zespolone ze sprzężeniem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Równanie zespolone ze sprzężeniem

Post autor: Frynio »

Witam. Otóż mam jedno równanie zespolone postaci \(\displaystyle{ A^4=B^4}\). Ma ono 4 pierwiastki:

\(\displaystyle{ z_{1}=-1+\frac{i}{3}, z_{2}=-\frac{1}{3}-i, z_{3}=0, z_{4} = -\frac{4}{3}-\frac{2i}{3}}\).

I z tym ostatnim jest właśnie problem. Mam takie równanie (na pewno jest poprawne):

\(\displaystyle{ 4z^2+4z+(\overline{z})^2+2\overline{z}i=0}\)

Ładnie je sobie rozpisałem na:

\(\displaystyle{ 5x^2+i(6xy+2x+4y)+4y-5y^2+2y=0}\)

I na:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(5x+4)+y(-5y+2)=0\\x(6y+2)+4y=0\end{cases}}\)

I tak, po wklepaniu tego ostatniego do Wolframa, rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ z=0 \vee z = -\frac{4}{3}-\frac{2i}{3}}\)

Jak mogę jednak to obliczyć, bo nic mi nie wychodzi? Czy jest może łatwiejszy sposób, oprócz tego ukł. równań?

Chyba, że powiecie mi jak łatwiej już od początku zrobić to równanie:

\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)

Moje rozwiązywanie zaczęło się od podzielenia tego, na:

\(\displaystyle{ ((2z+1)^2-(\overline{z}+i)^2)((2z+1)^2+(\overline{z}+i)^2)}\)

Z tego pierwszego nawiasu wychodzą \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\), a z tego drugiego to równanie na górze
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Równanie zespolone ze sprzężeniem

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ 0=4z^2+4z+(\overline{z})^2+2\overline{z}i=4z^2+4z+1+(\overline{z})^2+2\overline{z}i+i^2=(2z+1)^2-i^2(\overline{z}+i)^2}\)

I teraz możesz to rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. Powinny wyjść prostsze równania.
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Równanie zespolone ze sprzężeniem

Post autor: Frynio »

Wiesz, niestety to mało daje chyba. Po rozkładzie:

\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)}\)

Wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ (2z+1-i\overline{z}-i)(2z+1+i\overline{z}+i) = 0}\)

I co ja teraz mogę z tym zrobić?

Jakby każdy z osobna wyliczyć, to wychodzą 2 rozwiązania (wg. Wolfram Alpha):

\(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}-\frac{i}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}+\frac{i}{3}}\)

To raczej nam dużo nie daje
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Równanie zespolone ze sprzężeniem

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ (2z+1-i\overline{z}-i)(2z+1+i\overline{z}+i) = 0}\)
Chyba nie tak: \(\displaystyle{ i^2(\overline{z}+i)^2=(\overline{z}i-1)^2}\)-- 14 lis 2015, o 06:54 --A to równanie
\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)
mogłes potraktować pierwiastkiem czwartego stopmia i dostać cztery równania:
\(\displaystyle{ 2z+1=(\overline{z}+i)\epsilon_k, \ k=0,1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_k}\) to pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, czyli \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\)
ODPOWIEDZ