Witam. Otóż mam jedno równanie zespolone postaci \(\displaystyle{ A^4=B^4}\). Ma ono 4 pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_{1}=-1+\frac{i}{3}, z_{2}=-\frac{1}{3}-i, z_{3}=0, z_{4} = -\frac{4}{3}-\frac{2i}{3}}\).
I z tym ostatnim jest właśnie problem. Mam takie równanie (na pewno jest poprawne):
\(\displaystyle{ 4z^2+4z+(\overline{z})^2+2\overline{z}i=0}\)
Ładnie je sobie rozpisałem na:
\(\displaystyle{ 5x^2+i(6xy+2x+4y)+4y-5y^2+2y=0}\)
I na:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(5x+4)+y(-5y+2)=0\\x(6y+2)+4y=0\end{cases}}\)
I tak, po wklepaniu tego ostatniego do Wolframa, rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ z=0 \vee z = -\frac{4}{3}-\frac{2i}{3}}\)
Jak mogę jednak to obliczyć, bo nic mi nie wychodzi? Czy jest może łatwiejszy sposób, oprócz tego ukł. równań?
Chyba, że powiecie mi jak łatwiej już od początku zrobić to równanie:
\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)
Moje rozwiązywanie zaczęło się od podzielenia tego, na:
\(\displaystyle{ ((2z+1)^2-(\overline{z}+i)^2)((2z+1)^2+(\overline{z}+i)^2)}\)
Z tego pierwszego nawiasu wychodzą \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\), a z tego drugiego to równanie na górze
Równanie zespolone ze sprzężeniem
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Równanie zespolone ze sprzężeniem
\(\displaystyle{ 0=4z^2+4z+(\overline{z})^2+2\overline{z}i=4z^2+4z+1+(\overline{z})^2+2\overline{z}i+i^2=(2z+1)^2-i^2(\overline{z}+i)^2}\)
I teraz możesz to rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. Powinny wyjść prostsze równania.
I teraz możesz to rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. Powinny wyjść prostsze równania.
Równanie zespolone ze sprzężeniem
Wiesz, niestety to mało daje chyba. Po rozkładzie:
\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)}\)
Wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (2z+1-i\overline{z}-i)(2z+1+i\overline{z}+i) = 0}\)
I co ja teraz mogę z tym zrobić?
Jakby każdy z osobna wyliczyć, to wychodzą 2 rozwiązania (wg. Wolfram Alpha):
\(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}-\frac{i}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}+\frac{i}{3}}\)
To raczej nam dużo nie daje
\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)}\)
Wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ (2z+1-i\overline{z}-i)(2z+1+i\overline{z}+i) = 0}\)
I co ja teraz mogę z tym zrobić?
Jakby każdy z osobna wyliczyć, to wychodzą 2 rozwiązania (wg. Wolfram Alpha):
\(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}-\frac{i}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ z=-\frac{1}{3}+\frac{i}{3}}\)
To raczej nam dużo nie daje
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Równanie zespolone ze sprzężeniem
\(\displaystyle{ (2z+1-i\overline{z}-i)(2z+1+i\overline{z}+i) = 0}\)
Chyba nie tak: \(\displaystyle{ i^2(\overline{z}+i)^2=(\overline{z}i-1)^2}\)-- 14 lis 2015, o 06:54 --A to równanie
\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)
mogłes potraktować pierwiastkiem czwartego stopmia i dostać cztery równania:
\(\displaystyle{ 2z+1=(\overline{z}+i)\epsilon_k, \ k=0,1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_k}\) to pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, czyli \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\)
Chyba nie tak: \(\displaystyle{ i^2(\overline{z}+i)^2=(\overline{z}i-1)^2}\)-- 14 lis 2015, o 06:54 --A to równanie
\(\displaystyle{ (2z+1)^4=(\overline{z}+i)^4}\)
mogłes potraktować pierwiastkiem czwartego stopmia i dostać cztery równania:
\(\displaystyle{ 2z+1=(\overline{z}+i)\epsilon_k, \ k=0,1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_k}\) to pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, czyli \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\)