Rownanie liczb zespolonych.

[keffik]

Cześć. Mam problem z tym równaniem.
\(\displaystyle{ (z-i)^{4} = (1+2i)^{8}}\)

dodam, że mam rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych

[kerajs]

1. Zapis równania musisz ograniczać tagami tex jak nizej

Kod: Zaznacz cały

[tex](z-i)^{4} = (1+2i)^{8}[/tex]

aby wyświetliło się tak:
\(\displaystyle{ (z-i)^{4} = (1+2i)^{8}}\)
i było zgodne z regulaminem forum. Radzę przeczytać: klik

2.
Równanie można rozwiązywać np. tak:
\(\displaystyle{ (z-i)^{4} = (1+2i)^{8}\\ (z-i)^{4} = (1+2i)^{8} \cdot 1 \\ z-i = (1+2i)^{2} \cdot \sqrt[4]{1} \\
z-i = (1+2i)^{2} \cdot 1 \ \ \vee \ \ z-i = (1+2i)^{2} \cdot i \ \ \vee \ \ z-i = (1+2i)^{2} \cdot (-1) \ \ \vee \\ \vee \ \ z-i = (1+2i)^{2} \cdot (-i)}\)
Dalej pewnie już potrafisz.

[keffik]

Ej, nie bardzo rozumiem, dlaczego używamy tej jedynki podczas pierwiastkowania ?

[a4karo]

kerajs, a co to jest \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\)?

[kerajs]

\(\displaystyle{ (z-1)^4= (1+2i)^8}\)
Obustronnie pierwiastkując pierwiastkiem stopnia czwartego mam
\(\displaystyle{ z-1= \sqrt[4]{ (1+2i)^8 }}\),
a z otrzymanego pierwiastka dostaniesz cztery liczby, więc będą 4 rozwiązania.
Z lenistwa robię to tak:
\(\displaystyle{ z-1= \sqrt[4]{ (1+2i)^8 \cdot 1}}\)
\(\displaystyle{ z-1=(1+2i)^2 \cdot \sqrt[4]{ 1}}\)
i stąd jedynka z której pierwiastki łatwo znaleźć.

@ a4karo
Dlaczego nie podoba Ci się ten zapis?
A może sposób rozwiązywania?

[a4karo]

Nie, ja tylko spytałęm co to jest \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\). I nie dostałem odpowiedzi

[kerajs]

Przecież to wynika z treści zadania i z mojego rozwiązania.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}= \sqrt[4]{e ^{ik2 \pi } }}\)

[a4karo]

No tak, tylko mnie w szkole nie uczyli mnożenie pzez cztery liczby na raz. I własnie dlatego ten zapis mi sie nie podoba

[miodzio1988]

No tak, tylko mnie w szkole nie uczyli mnożenie pzez cztery liczby na raz. I własnie dlatego ten zapis mi sie nie podoba

Szkoły już teraz nie zmienisz, ale proponuję się nie wypowiadać w tematach o których nie masz pojęcia. Zapis jest jak najbardziej poprawny

[a4karo]

Miodzio, może już dość tych pokazów braku dobrego wychowania. Zachowujesz sie w sposób naganny..

Przypominam ci, że obraziłes mnie na PW, a ten post wykazuje, że mniemanie o własnej wszechwiedzy przykrywa nawet zdrowy rozsadek.

Nie wiesz kim jestem, jedyna co znasz to mój wiek, i choćby z tego tytułu powinieneś powstrzymać się od takich komentarzy.


Merytorycznie zaś zapis \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}= \sqrt[4]{e ^{ik2 \pi } }}\) nie jest poprawny, bo nie za bardzo wiadomo o jakim \(\displaystyle{ k}\) jest mowa-- 14 lis 2015, o 04:23 --A poprawny zapis powinien wyglądać tak
\(\displaystyle{ (z-1)^4= (1+2i)^8}\)
Obustronnie pierwiastkując pierwiastkiem stopnia czwartego otrzymujemy cztery rozwiązania
\(\displaystyle{ z-1= { (1+2i)^2 }\epsilon_k,\ k=0,1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_k\in\{1,i,-1,-i\}}\) są pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki.

[miodzio1988]

Merytorycznie zaś zapis \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}= \sqrt[4]{e ^{ik2 \pi } }}\) nie jest poprawny, bo nie za bardzo wiadomo o jakim \(\displaystyle{ k}\) jest mowa

Kpiny sobie robisz?

396968.htm#p5383895

W tym temacie nie napisałeś czym jest \(\displaystyle{ k}\), więc też popełniłeś merytoryczny błąd? Dziwne, że komuś zwracasz uwagę na coś, a zaraz potem sam to robisz (jest to już trzecia taka sytuacja w ciągu kilku dni). Opanuj się

No i nie udawaj, że o ten fragment Ci chodziło. Przecież przed tym zapisem już miałeś "problem". Gdzie wcześniej widziałeś błąd?

[a4karo]

Miodzio, znów niestety czepiasz sie zupełnie bez sensu.

W dziedzinie zespolonej funkcja \(\displaystyle{ z\to z^{1/4}}\) jest funkcja wielowartościową. Jedna z jej gałęzi - tę która liczbom rzeczywistym dodatnim przypisuje liczby rzeczywiste dodatnie - przyjęło się oznaczać przez \(\displaystyle{ \sqrt[4]{}}\). Można przyjąć inną konwencję i oznaczyć tak każda inną z gałęzi. Dlatego pytałem kerajsa co oznacza ten symbol. I odpowiedź, że to \(\displaystyle{ e^{\frac{k\pi}{2}i}}\) (tak to chyba miało wyglądac w zamiarze kerajsa) jest niewystarczająca, bo dalej nie wskazuje o której gałezi mowa Natomiast nie można oznaczyć tym symbolem CZTERECH różnych liczb.

Myślę że przerabiałes to gdzies na studiach, ale albo Ci sie zapomniało, albo po prostu chciałeś mi dowalić.

To tyle darmowych korepetycji.

Jeżekli chodzi o zacytowany przez Ciebie link, to jakoś tak jest, że wszyscy na świecie zagdzają się, że \(\displaystyle{ \alpha+k\pi}\) oznacza serię przesunięć kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) o całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ \pi}\). TA konwencja jest powszechnie stosowana.

Jeżeli masz co do tego wątpliwośći, to może powinieneś sie jednak zastanowić: kilka postów wcześniej miałes do mnie pretensję,że stosowałem regułę de l'Hospitala do wyrażenia \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(n)}\)
I co, tu nie miałes wątpliwości, że chodzi o ciąg?

Innymi słowy: konwencje znasz, używasz, ale jak chcesz komuś dowalić, to z chęcią od nich odchodzisz.

Jeszcze raz Ci powtarzam:: zachowujesz sie brzydko i wystawiasz tym niestety sobie bardzo marne świadectwo. Zauważam to nie tylko ja: pamiętasz taki temat z 2013 w którym użytkownicy tego forum oceniali Cię? I zdecydowanie nie wszystkie oceny były przychylne.

Rob swoją robotę, pomagaj na tym forum (jak Ci napisałem na PW robisz niezła robotę), ale powstrzymaj sie od prób załatwiania prywatnych porachunków i ubliżania innym.
Jak już powiedziałem - nie wiesz o mnie nic, poza wiekiem, więc daruj sobie ocenę moich umiejętności matematycznych, żebyś nie musial sie potem tych ocen wstydzić.


PS: a może w międzyczasie popatrz na posty, w których czepiałęs sie moich rad:
https://www.matematyka.pl/396908.htm
https://www.matematyka.pl/396968.htm

Jak widzisz, użytkownicy je rozumieją, stosują i otrzymują wyniki. Ty zaś tylko bijesz pianę i (co pewnie dla Ciebie ważniejsze) nabijasz licznik postów.

[miodzio1988]

W dziedzinie zespolonej funkcja \(\displaystyle{ z\to z^{1/4}}\) jest funkcja wielowartościową. Jedna z jej gałęzi - tę która liczbom rzeczywistym dodatnim przypisuje liczby rzeczywiste dodatnie - przyjęło się oznaczać przez \(\displaystyle{ \sqrt[4]{}}\). Można przyjąć inną konwencję i oznaczyć tak każda inną z gałęzi.

Spójrz na dział i w ten z automatu byś wiedział o jaką konwencję chodzi.

Tej prywaty nawet nie będę komentował, bo już na PW napisałem co o Twoich sposobach nauki sądzę. Przyczepić się braku limesa zamiast odpowiedzieć na pytanie, które jest istotne.

Hipokryzja aż bije po oczach, bo raz się czepiasz braku oznaczeń na \(\displaystyle{ k}\) a raz sam nie piszesz czym \(\displaystyle{ k}\) jest, bo "konwencja"

Konwencja jest taka, że \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) czyta się jako granica ciągu, ale Ty chcesz różniczkować to bez komentarza. I Ty chcesz potencjalnego czytelnika uczyć? No byś się wstydził, bo mi to zarzucałeś wczoraj.

Konwencja jest taka na forum, że jak ktoś się czepia głupot zamiast istoty rzeczy ( a robisz to w ciągu kilku dni non stop) to takiej osobie się zwraca uwagę.

Zwracam Ci uwagę. Już teraz nie prywatnie, bo prywatnie już to zrobiłem


396846.htm

Tutaj post gdzie Ty się czepiałeś mnie, a jednak dziewczyna zrozumiała przykłady. I co? To w dwie strony działa, czepianie się zacząłeś Ty. Chcesz się czepiać to i ja będę się wtedy czepiał Ciebie i zobaczysz jak na tym wyjdziesz. W sumie już widzisz, bo płaczesz, że na PW Cię obraziłem. Przepraszam ojej

[Premislav]

obrazek-matematyka.jpg (8.46 KiB) Przejrzano 110 razy

A żeby nie spamować, dodam, że to zadanie można zrobić również nie mając pojęcia o tym, co to są pierwiastki zespolone z z \(\displaystyle{ 1}\) (choć warto to wiedzieć, bo to bardziej ogólne podejście, więc sposób kerajsa jest trochę lepszy):
\(\displaystyle{ (z-i)^{4}=(1+2i)^{8} \Leftrightarrow (z-i)^{4}-(1+2i)^{8}=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow ((z-i)^{2}-(1+2i)^{4})((z-i)^{2}+(1+2i)^{4})=0 \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow (z-i-(1+2i)^{2})(z-i+(1+2i)^{2})(z-i-i(1+2i)^{2})(z-i+i(1+2i)^{2})=0}\)
i dalej wiadomo...
Korzystam tylko ze wzorów skróconego mnożenia i tego, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\).

[a4karo]

To prawda, ale zrób tak samo to:
\(\displaystyle{ (z-i)^{5}=(1+2i)^{10}}\) . Dlatego lepiej wskazać uniwersalna metodę.