Nie wykonując dzielenia znajdź reszte z dzielenia

[a4karo]

No włąsnie. A ty cały czas pisałeś \(\displaystyle{ i^2+1}\)...

Ok \(\displaystyle{ i}\) jest jednym pierwiastkiem. Co jest drugim (przeczytaj wskazówkę Premislava)

[fulman22]

No włąsnie. A ty cały czas pisałeś \(\displaystyle{ i^2+1}\)...
Dlatego że od razu postawiłem zamiast Z \(\displaystyle{ i}\)
Ok \(\displaystyle{ i}\) jest jednym pierwiastkiem. Co jest drugim (przeczytaj wskazówkę Premislava)

No kolega podpowiedział mi że to będzie jego sprzężenie.. czyli \(\displaystyle{ i-1}\) ?
I gdy będę znał już 2 pierwiastek to co mam dalej robić ?

[a4karo]

Sprzężeniem \(\displaystyle{ I}\) jest \(\displaystyle{ I-1}\)??? wróc do podstaw liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ z^2+1=0 \Rightarrow z^2=-1 \Rightarrow z=\pm\sqrt{-1}}\)

Jak już będziesz miał te pierwiastki, to wróć do \(\displaystyle{ W(z) = Q(z) \cdot I(z) + R (z)}\) i wstaw oba pierwiastki do niego. Dostaniesz układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Napisz tu wszystkie rachunki, bo z poprzednich obliczeń wnioskuję, że masz poważne problemy w operowaniu liczbami zespolonymi.

[fulman22]

Sprzężeniem \(\displaystyle{ I}\) jest \(\displaystyle{ I-1}\)??? wróc do podstaw liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ z^2+1=0 \Rightarrow z^2=-1 \Rightarrow z=\pm\sqrt{-1}}\)

Jak już będziesz miał te pierwiastki, to wróć do \(\displaystyle{ W(z) = Q(z) \cdot I(z) + R (z)}\) i wstaw oba pierwiastki do niego. Dostaniesz układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Napisz tu wszystkie rachunki, bo z poprzednich obliczeń wnioskuję, że masz poważne problemy w operowaniu liczbami zespolonymi.

Rozumiem że oba pierwiastki wstawiam osobno i potem gdy wyliczę oba robię z tego układ równań porównując części rzeczywiste i urojone ? Natomiast drugim pierwiastkiem będzie -i ? Bo jeśli nie to nie mam już żadnego pomysłu jak go znaleźć :/

[a4karo]

Tak. \(\displaystyle{ -i}\) jest drugim pierwiastkiem.

Nie masz porównac części rzeczywistych i urojonych, bo \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie muszą być liczbami rzeczywistymi. Masz rozwiązac otrzymany układ równań.

[fulman22]

Tak. \(\displaystyle{ -i}\) jest drugim pierwiastkiem.

Nie masz porównac części rzeczywistych i urojonych, bo \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie muszą być liczbami rzeczywistymi. Masz rozwiązac otrzymany układ równań.

Ale podstawiając -i do z^2 nie otrzymamy przypadkiem liczby dodatniej ?

[Premislav]

Nie. \(\displaystyle{ (-i)^{2}=(-1)^{2} \cdot i^{2}}\)

[fulman22]

Nie. \(\displaystyle{ (-i)^{2}=(-1)^{2} \cdot i^{2}}\)

Dlaczego zamiast 1 jest i ?

-- 8 lis 2015, o 18:58 --

Tak. \(\displaystyle{ -i}\) jest drugim pierwiastkiem.

Nie masz porównac części rzeczywistych i urojonych, bo \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie muszą być liczbami rzeczywistymi. Masz rozwiązac otrzymany układ równań.

Okej już wiem jak mam to mniej więcej rozwiązać Przepraszam za taki "nieogar" ale to przez to że za dużo kombinuje Tylko jeśli mógłby mi ktoś wyjaśnić gdy znam już pierwiastki to podstawiam \(\displaystyle{ z^2+1}\) ale muszę też podstawić do \(\displaystyle{ Q(i)}\) i razem to wymnożyć ??

[a4karo]

Ile będzie równa wartość \(\displaystyle{ Q(i)(i^2+1)}\) ?

[fulman22]

Ile będzie równa wartość \(\displaystyle{ Q(i)(i^2+1)}\) ?

No w nawiasie będzie 0 jeśli z Q(i) nic się nie robi to wartość będzie wynosiła 0

[a4karo]

No wlaśnie. Resztę masz. Licz

[fulman22]

No wlaśnie. Resztę masz. Licz

\(\displaystyle{ z=i}\) Wstawiam 1 pierwiastek do równania i otrzymuje :
\(\displaystyle{ (i^2)^{51} \cdot i - i \cdot i + 2i = Q(i) \cdot (i^2 + 1) + ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ - i + 1 + 2i = ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\)

Wstawiam 2 pierwiastek \(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ (-i^2)^{51} \cdot i - i \cdot (-i) + 2i = Q(-i) \cdot (-i^2 + 1) - ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ i - 1 + 2i = -ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ -1 +3i = -ai +b}\)

Mam układ dwóch równań \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\) oraz
\(\displaystyle{ -1 + 3 i = -ai + b}\)

Dodaje stronami i otrzymuje \(\displaystyle{ 4i = 2b}\) dzieląc przez 2 otrzymuje \(\displaystyle{ b=2i}\)
Podstawiając do 1 równania b w rezultacie otrzymuje \(\displaystyle{ 1 + i = ai + 2i}\) czyli \(\displaystyle{ ai=1-i}\) Więc szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ 1-i + 2i = 1+i}\)

Proszę o sprawdzenie czy nie zrobiłem gdzieś błędów podczas obliczeń

[a4karo]

No wlaśnie. Resztę masz. Licz

\(\displaystyle{ z=i}\) Wstawiam 1 pierwiastek do równania i otrzymuje :
\(\displaystyle{ (i^2)^{51} \cdot i - i \cdot i + 2i = Q(i) \cdot (i^2 + 1) + ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ - i + 1 + 2i = ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\)

Wstawiam 2 pierwiastek \(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ (-i^2)^{51} \cdot i - i \cdot (-i) + 2i = Q(-i) \cdot (-i^2 + 1) - ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ i - 1 + 2i = -ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ -1 +3i = -ai +b}\)

Mam układ dwóch równań \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\) oraz
\(\displaystyle{ -1 + 3 i = -ai + b}\)

Dodaje stronami i otrzymuje \(\displaystyle{ 4i = 2b}\) dzieląc przez 2 otrzymuje \(\displaystyle{ b=2i}\)
Podstawiając do 1 równania b w rezultacie otrzymuje \(\displaystyle{ 1 + i = ai + 2i}\) czyli \(\displaystyle{ ai=1-i}\) Więc szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ 1-i + 2i = 1+i}\)

Proszę o sprawdzenie czy nie zrobiłem gdzieś błędów podczas obliczeń

Wstawiam 2 pierwiastek \(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ (\red{(}-i\red{)}^2)^{51} \cdot \red{(}-i\red{)}- i \cdot (-i) + 2i = Q(-i) \cdot (-i^2 + 1) - ai+b}\)

To tak a propos głupich błędów

[fulman22]

Wstawiam 2 pierwiastek \(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ (\red{(}-i\red{)}^2)^{51} \cdot \red{(}-i\red{)}- i \cdot (-i) + 2i = Q(-i) \cdot (-i^2 + 1) - ai+b}\)

To tak a propos głupich błędów

Aa... no faktycznie :/ czyli w drugim równaniu wychodzi \(\displaystyle{ -1 + i = -ai +b}\)

-- 9 lis 2015, o 19:13 --

No wlaśnie. Resztę masz. Licz

\(\displaystyle{ z=i}\) Wstawiam 1 pierwiastek do równania i otrzymuje :
\(\displaystyle{ (i^2)^{51} \cdot i - i \cdot i + 2i = Q(i) \cdot (i^2 + 1) + ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ - i + 1 + 2i = ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\)

Wstawiam 2 pierwiastek \(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ (-i^2)^{51} \cdot (-i) - i \cdot (-i) + 2i = Q(-i) \cdot (-i^2 + 1) - ai+b}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ -i - 1 + 2i = -ai + b}\)
Czyli \(\displaystyle{ -1 +i = -ai +b}\)

Mam układ dwóch równań \(\displaystyle{ 1 + i = ai + b}\) oraz
\(\displaystyle{ -1 + i = -ai + b}\)

Dodaje stronami i otrzymuje \(\displaystyle{ 2i = 2b}\) dzieląc przez 2 otrzymuje \(\displaystyle{ b=i}\)
Podstawiając do 1 równania b w rezultacie otrzymuje \(\displaystyle{ 1 + i = ai + i}\) czyli \(\displaystyle{ ai=1}\) Więc szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ 1+i}\)

Teraz powinno być dobrze

[a4karo]

Nie, bo reszta ma byc w postaci \(\displaystyle{ az+b}\)

Jak \(\displaystyle{ ai=1}\) to \(\displaystyle{ a=}\)??

Żle wstawiłes \(\displaystyle{ -i}\) do lewego wielomianu

\(\displaystyle{ (-i)^{103}=(-i)^{102}\cdot (-i)=((-i)^2)^{51}\cdot (-i)}\)