Nie wykonując dzielenia znajdź reszte z dzielenia

[fulman22]

Witam wszystkich serdecznie czy mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem zadanie ?

\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1}\)
\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1 + az+b}\)
\(\displaystyle{ (i^2)^{102} + i - i(i^2) + 2i}\) = \(\displaystyle{ Q(i) \cdot (i^2+1) + az +b}\)
\(\displaystyle{ (-1)^{102} +i +i +2i}\) = \(\displaystyle{ ai+b}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 4i=ai+b}\)
\(\displaystyle{ ai=4}\) \(\displaystyle{ b=0}\)

[a4karo]

Witam wszystkich serdecznie czy mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem zadanie ?

\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1}\)
\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1 + az+b}\)

Co oznacza ten zapis???

\(\displaystyle{ (i^2)^{102} + i - i(i^2) + 2i}\) = \(\displaystyle{ Q(i) \cdot (i^2+1) + az +b}\)

czym jest \(\displaystyle{ z}\) po prawej stronie?

\(\displaystyle{ (-1)^{102} +i +i +2i}\) = \(\displaystyle{ ai+b}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 4i=ai+b}\)
\(\displaystyle{ ai=4}\) \(\displaystyle{ b=0}\)

Co się stało z \(\displaystyle{ (-1)^{102}}\) ?

Nie ma żadnej gwarancji, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są rzeczywiste w tej reszcie, więc takie rozumowanie nie przejdzie.

Wsk. Wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\) ma jeszcze jeden pierwiastek.

[fulman22]

Witam wszystkich serdecznie czy mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze rozwiązałem zadanie ?

\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1}\)
\(\displaystyle{ z^{103} - iz + 2i}\) dzielony przez \(\displaystyle{ z^2+1 + az+b}\)

Co oznacza ten zapis???

Przepraszam że to trochę źle wygląda ten zapisz oznacza \(\displaystyle{ W(z) = Q(z) \cdot I(z) + R (z)}\)

\(\displaystyle{ (i^2)^{102} + i - i(i^2) + 2i}\) = \(\displaystyle{ Q(i) \cdot (i^2+1) + az +b}\)

czym jest \(\displaystyle{ z}\) po prawej stronie?

Jest szukaną resztą ponieważ wszędzie mam z a nie x dlatego napisałem to w tej postaci

\(\displaystyle{ (-1)^{102} +i +i +2i}\) = \(\displaystyle{ ai+b}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 4i=ai+b}\)
\(\displaystyle{ ai=4}\) \(\displaystyle{ b=0}\)

Co się stało z \(\displaystyle{ (-1)^{102}}\) ?

-1 zamieniłem na \(\displaystyle{ i}\) ponieważ ujemna liczba do potęgi parzystej daje liczbę dodatnią a wcześniej miałem potęgę do 103 więc ją rozbiłem.

Nie ma żadnej gwarancji, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są rzeczywiste w tej reszcie, więc takie rozumowanie nie przejdzie.

Wsk. Wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\)ma jeszcze jeden pierwiastek.

\(\displaystyle{ (-i^2 + 1)}\) to będzie ten drugi pierwiastek ?

[a4karo]

JAk do równania \(\displaystyle{ W(z) = Q(z) \cdot I(z) + R (z)}\) wstawisz \(\displaystyle{ z=i}\) to po prawej stronie żadnego \(\displaystyle{ z}\) nie będzie.

Co się stało z \(\displaystyle{ (-1)^{102}}\) ?

-1 zamieniłem na i ponieważ ujemna liczba do potęgi parzystej daje liczbę dodatnią a wcześniej miałem potęgę do 103 więc ją rozbiłem.

Rozbiłeś na SUMĘ?????????

Zastanów się co jakie sa pierwiastki \(\displaystyle{ z^2+1=0}\). Na pewno nie \(\displaystyle{ -i^2+1}\). Uważaj na nawiasy.

[fulman22]

JAk do równania \(\displaystyle{ W(z) = Q(z) \cdot I(z) + R (z)}\) wstawisz \(\displaystyle{ z=i}\) to po prawej stronie żadnego \(\displaystyle{ z}\) nie będzie.

okej

Co się stało z \(\displaystyle{ (-1)^{102}}\) ?

-1 zamieniłem na i ponieważ ujemna liczba do potęgi parzystej daje liczbę dodatnią a wcześniej miałem potęgę do 103 więc ją rozbiłem.

Rozbiłeś na SUMĘ?????????

Tak... ale zamienię sumę na iloczyn to wtedy będzie się wszystko zgadzało.

Zastanów się co jakie sa pierwiastki \(\displaystyle{ z^2+1=0}\). Ma pewno nie \(\displaystyle{ -i^2+1}\). Uważaaj na nawiasy.

Przychodzi mi na myśl tylko \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\)

[Premislav]

Wskazówka: \(\displaystyle{ z^{2}+1=z^{2}-(-1)}\). Może wzór na różnicę kwadratów?

Przy czym w sumie nie trzeba nic już liczyć, jeśli się wie, że gdy jakaś liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to jej sprzężenie też.

[fulman22]

Wskazówka: \(\displaystyle{ z^{2}+1=z^{2}-(-1)}\). Może wzór na różnicę kwadratów?

Przy czym w sumie nie trzeba nic już liczyć, jeśli się wie, że gdy jakaś liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to jej sprzężenie też.

1 pierwiastek to \(\displaystyle{ i^2+1}\) no to sprzężenie tego będzie \(\displaystyle{ i^2-1}\) ?

[a4karo]

Próbowałeś wstawić \(\displaystyle{ i^2+1}\) do równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)? I co Ci wyszło?

[fulman22]

Próbowałeś wstawić \(\displaystyle{ i^2+1}\) do równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)? I co Ci wyszło?

Nie rozumiem ciebie w tej chwili ? \(\displaystyle{ z^2+1=0}\) zamieniłem na \(\displaystyle{ i^2 + 1}\)...

[a4karo]

Spójrz na swoje rozumowanie:
\(\displaystyle{ z^2-4=0 \Rightarrow (2)^2-4=0}\) wiec (jak piszesz) pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ (2)^2-4}\) ???

Co zatem jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)

[fulman22]

Spójrz na swoje rozumowanie:
\(\displaystyle{ z^2-4=0 \Rightarrow (2)^2-4=0}\) wiec (jak piszesz) pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ (2)^2-4}\) ???

Co zatem jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)

Sam już teraz nie wiem.... :/ możesz mi pomóc/podpowiedzieć ?

[a4karo]

Co jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2-4=0}\)?

[fulman22]

Co jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2-4=0}\)?

2 lub -2

[a4karo]

Tak. 2 jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ z^2-4=0}\) bo \(\displaystyle{ 2^2-4=0}\)

Skoro \(\displaystyle{ i^2+1=0}\), to co jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)?

[fulman22]

Tak. 2 jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ z^2-4=0}\) bo \(\displaystyle{ 2^2-4=0}\)

Skoro \(\displaystyle{ i^2+1=0}\), to co jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ z^2+1=0}\)?

no właśnie ta nasza jednostka urojona \(\displaystyle{ i}\)