Jak udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \left( 3+4i\right)^n \neq 5^n}\)
Indukcyjnie jakoś nie pasuje mi tutaj dowód, może jest jakiś inny sposób?
Nierówność z liczbą zespoloną
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność z liczbą zespoloną
Rozpatrz równanie
\(\displaystyle{ (3+4i)^{n}=k\cdot 5^{n}}\) z parametrem \(\displaystyle{ k \in \CC}\) i pokaż, że dla \(\displaystyle{ k=1}\) nie istnieje żadne \(\displaystyle{ n}\) czyniące zadość temu warunkowi. Równoważnie masz bowiem:
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}i \right)^{n}=k}\) (oczywiście by istniały rozwiązania, musi być \(\displaystyle{ \left| k\right|=1}\)), zaś
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}i \right)^{n}=1}\) oznaczałoby, że (wzór de Moivre'a i porównanie części urojonych)
\(\displaystyle{ n\arctan \frac{4}{3}=l\pi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ n}\) naturalnych.
Aha, jak zaliczasz \(\displaystyle{ n=0}\), to tylko wtedy zachodzi równość. Załóż, że \(\displaystyle{ n}\) jest całkowite dodatnie i pokaż, że nie może być \(\displaystyle{ n\arctan \frac{4}{3}=l\pi}\) dla jakiegokolwiek \(\displaystyle{ l}\) całkowitego.
\(\displaystyle{ (3+4i)^{n}=k\cdot 5^{n}}\) z parametrem \(\displaystyle{ k \in \CC}\) i pokaż, że dla \(\displaystyle{ k=1}\) nie istnieje żadne \(\displaystyle{ n}\) czyniące zadość temu warunkowi. Równoważnie masz bowiem:
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}i \right)^{n}=k}\) (oczywiście by istniały rozwiązania, musi być \(\displaystyle{ \left| k\right|=1}\)), zaś
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{5}+ \frac{4}{5}i \right)^{n}=1}\) oznaczałoby, że (wzór de Moivre'a i porównanie części urojonych)
\(\displaystyle{ n\arctan \frac{4}{3}=l\pi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ n}\) naturalnych.
Aha, jak zaliczasz \(\displaystyle{ n=0}\), to tylko wtedy zachodzi równość. Załóż, że \(\displaystyle{ n}\) jest całkowite dodatnie i pokaż, że nie może być \(\displaystyle{ n\arctan \frac{4}{3}=l\pi}\) dla jakiegokolwiek \(\displaystyle{ l}\) całkowitego.