Równanie zespolone.

[nesti32]

Hi. Rozwiązywałem równanie zespolone, lecz jego rozwiązanie okazało się niepełne. Chodzi mi o:

\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^{n} - \left( z+i \right) ^{n} =0}\)

rozwiązałem go tak

\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^{n} - \left( z+i \right) ^{n} =0 \\
\left( z-i \right) ^{n} = \left( z+i \right) ^{n} /: \left( z+i \right) ^{n} \\
{ \frac{z-i}{z+i}}^n=1\\
\frac{z-i}{z+i}= \sqrt[n]{1},\ w_{k}=\sqrt[n]{1} \\
\frac{z-i}{z+i}=w_{k} \\
z= \frac{1+w_{k}}{1-w_{k}} , w_{k}\neq1}\)
Z tego wynika iz mamy n−1 rozwiązań równania, gdy \(\displaystyle{ w_{k}= \left( \cos \left( \frac{2\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi}{n} \right) \right)}\)

Rozwiązanie jest niby ok, ale mam dojść z tego iż rozwiązaniem tego równania jest zbiór liczb
rzeczywistych. Jak mam to zrobić?

[Michalinho]

Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\).
\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^{n} - \left( z+i \right) ^{n} =0\Leftrightarrow (z-i)^n=(z+i)^n}\).
Jeśli dwie liczby zespolone są równe, to ich moduły są równe. Potem zlikwiduj potęgi i łatwo uzyskasz, że \(\displaystyle{ b=0}\). Z drugiej strony pokaż, że każda liczba rzeczywista spełni to równanie i wtedy masz tezę.

[nesti32]

Michalinho, w sumie dobry pomysł z tym modułem, dzięki. Wgl jak udowodnić iż to równanie spełnia każda liczba rzeczywista? Podłożyć zmienna np.: t i rozwiązac?

[Michalinho]

W zasadzie to nie każda liczba rzeczywista to spełnia. Co masz dokładnie udowodnić?

[nesti32]

Michalinho, mam wyjść z tego co rozpisałem do tego, że \(\displaystyle{ z \in R}\).

edit. ew źle zrozumiałem prowadzącego

[Michalinho]

No to koniec. Z tego, że \(\displaystyle{ b=0}\) już wynika teza.