Płaszczyzna zespolona a parametr

[NogaWeza]

Dane jest równanie: \(\displaystyle{ z^2 + 2(a+i)z + a^2 + 2ai -i -1 = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in C}\).
Mam graficznie przedstawić zbiór tych parametrów, dla których wszystkie rozwiązania powyższego równania spełniają: \(\displaystyle{ - \pi < \mbox{Arg}z < \frac{\pi}{2}}\).

Mógłbym klasycznie policzyć deltę (wychodzi w miarę ładna), później obliczyć pierwiastki tego równania, ale nie wiem co dalej, bo się trochę poplątałem. Jak się za to zabrać?

[Kartezjusz]

Zbij wyraz wolny ze wzoru skróconego mnożenia

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ z^2 + 2(a+i)z + a^2 + 2ai -i -1 = z^2 +2(a+i)z + (a+i)^2 - i = 0}\)
Nic mi to nie mówi...

[Kartezjusz]

I jeszcze raz

[NogaWeza]

Chyba udało mi się rozwiązać, podzielę się rozwiązaniem:
\(\displaystyle{ z^2 +2(a+i)z + (a+i)^2 - i = 0}\)
\(\displaystyle{ (z + a+i)^2 = i}\)

Łatwo znaleźć zbiór \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\), po znalezieniu obu jego elementów zapisuję:

\(\displaystyle{ z+a+i=\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \vee \quad z + a + i = -\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{\sqrt{2}}{2} - a +i\frac{\sqrt{2}}{2} - i \quad \vee \quad z = -\frac{\sqrt{2}}{2} -a -i\frac{\sqrt{2}}{2} -i}\)

Z treści zadania mieliśmy \(\displaystyle{ a \in \mathbb{C}}\), więc \(\displaystyle{ a = x + yi}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{\sqrt{2}}{2} - x + i\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - y\right) \quad \vee \quad z = -\frac{\sqrt{2}}{2} -x +i\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} -1 -y\right)}\)

\(\displaystyle{ -\pi < \mbox{Arg}z < - \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \mbox{Re}(z) < 0 \wedge \mbox{Im}(z) < 0}\)

Teraz po prostu biorę części urojone i rzeczywiste obu pierwiastków równania i z tych nierówności wyznaczam interesujące mnie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\). Oczywiście biorę sumę rozwiązań, bo mamy alternatywę.

Proszę o komentarz co do rozwiązania i dziękuję za dotychczasową pomoc, Kartezjuszu.