Równanie zespolone - sprzężenie i potęgi

[tgjzd]

Cześć,
uczę się do kolokwium i nie umiem sobie poradzić z takim zadaniem.
Rozwiąż równanie i oblicz sumę pierwiastków.
\(\displaystyle{ \left( \overline{ z}\right)^{6} = 4\left| z^{4}\right|}\)

Próbowałem to rozwiązać następująco:
\(\displaystyle{ \left( \overline{ z}\right)^{6} = 4\left| z\right|^{4}

\left| z\right|^{6} e ^{-j \alpha } = 4 \left| z\right|^{4}

\left| z\right|^{2} e^{-j \alpha } = 4}\)

ale nie mam pojęcia co dalej z tym zrobić

Drugie zadanie co do którego mam wątpliwości to:
\(\displaystyle{ \left| z \right|^{9} = - z^{6}}\)
po obliczeniach
\(\displaystyle{ r^{9} = -r^{6}\cdot e^{6j \alpha}

r^{9} = r^{6}\cdot e^{6j \alpha} \cdot e^{\pi j}

r^{9} = r^{6}\cdot e^{j\left(6 \alpha + \pi \right)

r^{9}*e^{0} = r^{6} \cdot e^{j\left(6 \alpha + \pi\right)}}\)
nie mam pojęcia co z tym zrobić, nie wiem jak przyrównać do siebie te dwie liczby, co mi wolno zrobić czego nie.
Byłbym wdzięczny za podpowiedzi.

[Kartezjusz]

Zapisz dla obu ostać wykładniczą

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ \left( \overline{ z}\right)^{6} = 4\left| z^{4}\right|}\)

Pierwsze rozwiązanie rzuca się w oczy. Jest to \(\displaystyle{ z=0}\)

\(\displaystyle{ z=|z|e^{j\alpha}}\)

\(\displaystyle{ |z|^{6}e^{-6\alpha j}=4|z|^{4}}\)

\(\displaystyle{ |z|^{2}e^{-6\alpha j}=4}\)

\(\displaystyle{ |z|^{2}(\cos(6\alpha)-j\sin(6\alpha))=4}\)

\(\displaystyle{ (|z|^{2}\cos(6\alpha)-4)-j|z|^{2}\sin(6\alpha)=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}|z|^{2}\cos(6\alpha)-4=0\\\|z|^{2}sin(6\alpha)}=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 6\alpha=0 \vee 6\alpha=\pi}\)

\(\displaystyle{ \alpha=0 \vee \alpha= \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Dla \alpha = 0}}\)

\(\displaystyle{ |z|^{2}\cos(0)-4=0}\)

\(\displaystyle{ |z|^2-4=0}\)

\(\displaystyle{ |z|=-2 \vee |z|=2 \Longrightarrow |z|=2 \hbox{ ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna}}\)

\(\displaystyle{ z=2e^{0j}=2}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Dla \alpha=} \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ |z|^{2}\cos(\pi)-4=0}\)

\(\displaystyle{ |z|^2=-4 \Longrightarrow \hbox{brak rozwiązań}}\)

\(\displaystyle{ z=0 \vee z=2}\)

Powinien jeszcze wyjść wynik -2, ale już nie mam czasu doszukiwać się błędu. Coś tu jest nie tak myślę. Dla kąta alfa równe 180 stopni wyszłoby -2 (moduł 2 obrócony o 180 stopni). Chyba większą liczbę kątów powinienem podstawić pod równanie.

[Kartezjusz]

Wyjaśnij mi przejście między piątą i szóstą linijką

[Straznik Teksasu]

Uciekło mi przy pisaniu \(\displaystyle{ |z|^2}\), ale dalszej części rozwiązania to nie zmienia. Uzupełniłem już brakujące ogniwo.

[tgjzd]

Dzięki, mam pytanie jeszcze do jednej rzeczy - tutaj wszystkie pierwiastki wyszły rzeczywiste - w jaki sposób jestem w stanie otrzymać pierwiastki zespolone, tak jak wolfram podaje w complex solutions?

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28conj%28z%29%29^6+%3D+4|z^4|

[Straznik Teksasu]

Pod kąt alfa kolejno podstawiasz:
0, 60, 120, 180, 270, 300 stopni i wyjdą Tobie kolejne pierwiastki, bo wszystkie te kąty spełniają te równanie:

\(\displaystyle{ |z|^{2}sin(6\alpha)}=0}\)

Te równanie spełnia też ciąg kątów: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 300, 330 stopni, ale dla równania

\(\displaystyle{ |z|^{2}\cos(6\alpha)-4=0}\)

niektóre kąty nie dają rozwiązań. Jak je odróżnić od pozostałych bez liczenia. Dla 0 jest rozwiązanie 2, dla 30 stopni nie ma rozwiązań, dla 60 stopni jest rozwiązanie \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i}\), dla 90 stopni brak,.... . Czyli wybierasz co drugie kąt w tym ciągu.