Znalezienie pierwiastków liczby rzeczywistej

[Zxzxxcxc]

Mam problem ze znalezieniem pierwiastków dla równania:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{\frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}}\)

\(\displaystyle{ z^{6} = \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}\)

\(\displaystyle{ z^{6} = R^{6}\left( \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha \right)}\)

Policzyłem, że moduł \(\displaystyle{ z^{6}}\) będzie wynosić \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i zapisałem \(\displaystyle{ z^{6}}\) jako \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha \right)}\).

Z równości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha \right) = \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}\) otrzymałem, że \(\displaystyle{ \cos 6\alpha = \frac{ \sqrt{3}-1 }{2 \sqrt{2} }}\), \(\displaystyle{ \sin 6\alpha = \frac{-1- \sqrt{3} }{2 \sqrt{2} }}\)

Co dalej zrobić? Czy w ogóle szedłem właściwym torem?

[Kartezjusz]

Moduł też potęgujesz

[Zxzxxcxc]

Wydaje mi się, że to zrobiłem, wyciągnąłem moduł z \(\displaystyle{ z^{6}}\), więc chyba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} = R^{6}}\)

Chyba, że coś źle zrozumiałem.

[a4karo]

Przedstaw liczbę pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej. W tym celu zrób to osobno z licznikiem i mianownikiem, a potem odejmij kąty i podziel moduły

[Straznik Teksasu]

Liczbę \(\displaystyle{ z}\) przekształciłem do postaci wykładniczej i ze wzoru wyliczyłem pierwiastki:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{\frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}= \sqrt[6]{\frac{(1-i)(\sqrt{3}-i)}{ (\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) }}= \sqrt[6]{( \frac{\sqrt{3}+1}{4})-( \frac{\sqrt{3}+1}{4} )i }=\sqrt[6]{(2+ \frac{\sqrt{3}}{2})e^{ \frac{7}{4}\pi i } }=\sqrt[6]{2+ \frac{\sqrt{3}}{2} } e^{i \frac { \frac{7}{4}\pi +2k\pi}{6} }}\)

\(\displaystyle{ \hbox{dla\ }k=0,1,2,3,4,5}\)

Poprawiłem (w to powyższe równanie wkradł się błąd rachunkowy i jest niepoprawne) i wyszło coś takiego (mam nadzieję że teraz poprawnie):?

Liczbę \(\displaystyle{ z}\) przekształciłem do postaci wykładniczej i ze wzoru wyliczyłem pierwiastki:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{\frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}= \sqrt[6]{\frac{(1-i)(\sqrt{3}-i)}{ (\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) }}= \sqrt[6]{( \frac{\sqrt{3}+1}{4})-( \frac{\sqrt{3}+1}{4} )i }=\sqrt[6]{ \frac{\sqrt{2}}{2}e^{ \arcsin( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} ) i } }=\sqrt[6]{ \frac{\sqrt{2}}{2}}e^{ \frac{\arcsin( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}) +2k\pi}{6} i }}\)

\(\displaystyle{ \hbox{dla\ }k=0,1,2,3,4,5}\)

[a4karo]

Liczbę \(\displaystyle{ z}\) przekształciłem do postaci wykładniczej i ze wzoru wyliczyłem pierwiastki:

\(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{\frac{1-i}{ \sqrt{3}+i }}= \sqrt[6]{\frac{(1-i)(\sqrt{3}-i)}{ (\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) }}= \sqrt[6]{( \frac{\sqrt{3}\red-\black1}{4})-( \frac{\sqrt{3}+1}{4} )i }=}\)

więc dalej już źle

@Zxzxxcxc zechcesz skorzystać z mojej wskazówki?

[Zxzxxcxc]

Dziękuję, myślałem, czy by czasem nie sprowadzić do postaci trygonometrycznej, ale najpierw próbowałem podzielić licznik przez mianownik i dopiero potem przekształcać całość - nie uzyskałem żadnych dobrze znanych kątów.

A więc to będzie

\(\displaystyle{ 1-i = \sqrt{2}\left( \cos 315 + i\sin 315\right)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+i=2\left( \cos30 + i \sin30\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-i}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{2}\left( \cos 315 + i\sin 315\right)}{2\left( \cos30 + i \sin30\right)} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \left( \cos 285 + i\sin 285\right)}\)

Dalej

\(\displaystyle{ R^{6} \left( \cos 6\alpha + i\sin 6\alpha \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \left( \cos 285 + i\sin 285\right)}\)

I stąd liczymy kąty. Jeszcze raz dzięki.

[a4karo]

w pierwszym rozwinięciu zamieniłeś rolami sinus i kosinus, ale wyniku to nie zmienia

[Zxzxxcxc]

Faktycznie, ale wiadomo o co chodzi. Już poprawiam