Znajdź pierwiastki wskazanego stopnia i zaznacz na płaszczyz

[fulman22]

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{16i}}\) po obliczeniu wyszło mi coś takiego W0 = \(\displaystyle{ cos 2\sqrt{2} + isin 2\sqrt{2}}\)
W1= \(\displaystyle{ - cos 2\sqrt{2} - isin 2\sqrt{2}}\) i moje pytani brzmi jak to teraz zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej ??

[Poszukujaca]

Liczby zespolone na płaszczyźnie to po prostu punkty.

Policz jeszcze raz. Twoje pierwiastki są źle wyliczone.

[fulman22]

Liczby zespolone na płaszczyźnie to po prostu punkty.

Policz jeszcze raz. Twoje pierwiastki są źle wyliczone.

Sprowadzam do postaci trygonometrycznej moje wyrażenie. Pierw liczę moduł który wynosi 16 i podstawiając otrzymuje \(\displaystyle{ \cos \frac{0}{16} = 0}\), \(\displaystyle{ i\sin \frac{16}{16} = 1}\)

Więc \(\displaystyle{ \cos =0}\) i \(\displaystyle{ \sin = 1}\) daję mi kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) a że sin i cos jest dodatni to leży w 1 ćwiartce więc mój kąt fi wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)

Liczę pierwszy pierwiastek W0: \(\displaystyle{ 4 \left( \cos \frac{ \pi }{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} + i\sin \frac{ \pi }{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2}}\) Zamieniłem dzielenie na mnożenie = \(\displaystyle{ 4 \left( \cos \frac{ \pi }{4} + i\sin \frac{ \pi }{4}}\) Odczytuje z tablic że kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i licząc dalej otrzymuje: \(\displaystyle{ \cos \frac{ 4\sqrt{2} }{2} + i\sin \frac{ 4\sqrt{2} }{2}}\) po skróceniu otrzymuje właśnie moje W0..

[Poszukujaca]

Okej. Dobrze korzystasz ze wzoru na pierwiastki zespolone. Pomijając fakt, że troszkę to niepoprawnie zapisałeś.

No ale dalej jest poważny błąd. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
To w tablicach działa w ten sposób, że argument \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) funkcji cosinus (sinus również) odpowiada wartości tej funkcji równej \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Czyli \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[fulman22]

Poszukujaca, no tak i dalej licząc wychodzi mi poprawnie ??? Więc w jaki sposób zaznaczyć ten pierwiastek ??

[Poszukujaca]

No więc tak.. Moduł liczby zespolonej masz już policzony. Argument główny również.

Zacznijmy od pierwszego pierwiastka:
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt{16} \cdot \left( \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2}+ 2\pi \cdot 0}{2}\right) + i \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}+ 2\pi \cdot 0}{2} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ w_{1}=4 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4}+ i \sin \frac{\pi}{4}\right) =...}\)

Teraz wstaw WARTOŚCI funkcji sinus i cosinus dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

[fulman22]

No więc tak.. Moduł liczby zespolonej masz już policzony. Argument główny również.

Zacznijmy od pierwszego pierwiastka:
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt{16} \cdot \left( \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2}+ 2\pi \cdot 0}{2}\right) + i \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}+ 2\pi \cdot 0}{2} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ w_{1}=4 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4}+ i \sin \frac{\pi}{4}\right) =...}\)

Teraz wstaw WARTOŚCI funkcji sinus i cosinus dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ 4 * \frac{ 2\sqrt{2} }{2} + 4i * \frac{ 2\sqrt{2} }{2}}\) = \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i}\) ? a drugi pierwiastek będzie taki sam tylko że z ujemnymi wartościami ?

[Poszukujaca]

Tak, dokładnie.-- 31 paź 2015, o 22:00 --Jest też wzór pozwalający obliczyć pozostałe pierwiastki z liczby zespolonej przy znajomości pierwszego.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ w_{1}}\) jest tym pierwszym pierwiastkiem. Wtedy kolejny policzymy tak:
\(\displaystyle{ w_{2}=w_{1} \cdot \left( \cos \frac{2\pi}{n}+i \sin \frac{2\pi}{n}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest stop[niem pierwiastka liczby zespolonej.
Ogólnie można zapisać:
\(\displaystyle{ w_{k}=w_{k-1} cdot left( cos frac{2pi}{n}+i sin frac{2pi}{n}
ight)}\)