Pierwiastkowanie liczb zespolonych

[Frynio]

Witam. Do obliczenia mam 2 pierwiastki:

1. \(\displaystyle{ \sqrt[4]{(1+\sqrt{3}i)^{16}}}\)

Tutaj zrobiłem to tak: \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=2\Bigl(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\Bigr)}\). Więc jest to \(\displaystyle{ \sqrt[4]{2^{16}\Bigl(cos\frac{16\pi}{3}+isin\frac{16\pi}{3}\Bigr)}}\). Co według mnie by dało:

\(\displaystyle{ z_{1}=2^{4}\Bigl(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=2^{4}\Bigl(cos\frac{11\pi}{6}+isin\frac{11\pi}{6}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=2^{4}\Bigl(cos\frac{7\pi}{3}+isin\frac{7\pi}{3}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{4}=2^{4}\Bigl(cos\frac{17\pi}{6}+isin\frac{17\pi}{6}\Bigr)}\)

Wolfram alpha wywala natomiast takie wyniki:

(okazuje się, że to są te same kąty, tylko przewalone o 360 stopni):

\(\displaystyle{ z_{1}=2^{4}\Bigl(cos\frac{-2\pi}{3}+isin\frac{-2\pi}{3}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=2^{4}\Bigl(cos\frac{-\pi}{6}+isin\frac{-\pi}{6}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=2^{4}\Bigl(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\Bigr)}\)
\(\displaystyle{ z_{4}=2^{4}\Bigl(cos\frac{5\pi}{6}+isin\frac{5\pi}{6}\Bigr)}\)

I które z tych 2 par postaci są lepsze?

2. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{(-2+3i)^{9}}}\) - tutaj jak zobaczyłem moduł \(\displaystyle{ =\sqrt{13}}\), to coś mi zaczęło nie pasować i nie wiem, czy dobrze zabieram się za to zadanie...

[Premislav]

1. Nie żartuj z nas, przecież to wszystko jedno. Tylko upewnij się (np. u prowadzącego/kolegów), czy nie jest wymagana postać algebraiczna, jeśli tak, to podstaw jeszcze odpowiednie wartości.
2. Źle się zabierasz za to zadanie. Zauważ, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ (-2+3i)^{3}}\), a pozostałe uzyskasz, wymnażając kolejno dwa razy przez \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}}\) (odpowiada to obrotowi wokół zera na płaszczyźnie zespolonej o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

[Frynio]

1. Prowadzący zatwierdził mi te 2 rozwiązania, czyli te pierwsze też ok w takim razie. No nic, dziękuję

2. Okejo, zaraz się za to zabieram i ogarnę. Dzięki wielkie