Oblicz wyrażenie oraz zaznacz na płaszyźnie zespolonej

[fulman22]

Witam jak rozwiązać tego typu zadanie: \(\displaystyle{ (sin \frac{2 \pi }{5} - icos \frac{2 \pi }{5} ))^5}\)

Muszę obliczyć moduł z sin i cos? Bo oczywiście trzeba będzie skorzystać ze wzoru de Moivre'a ale pierw muszę sprowadzić to wyrażenie do odpowiedniej postaci tryg. Gdyby były tylko liczby to spoko ale jak poradzić sobie z tego typu wyrażeniem.



2) Znajdź pierwiastki wskazanego stopnia i zaznacz je na płaszczyźnie zespolonej

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{16i}}\)

Jak obliczę już pierwiastki to co dalej ? W jaki sposób je zaznaczyć ?

[Premislav]

1) wskazówka: \(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos( \frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin \alpha}\)
2) będą one leżały na okręgu na płaszczyźnie zespolonej, mającym promień \(\displaystyle{ \sqrt{16}=4}\), zaś argumenty kątowe (zaznaczasz je zgodnie z powszechnie przyjętą konwencją przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) odczytasz z postaci trygonometrycznej.

[fulman22]

1) wskazówka: \(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos( \frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin \alpha}\)
Ale jak obliczyć moduł w tym wypadku ?

[Premislav]

Ciśniesz bekę, prawda?
Jedynka trygonometryczna.

[fulman22]

Ciśniesz bekę, prawda?
Jedynka trygonometryczna.

Czyli \(\displaystyle{ sin^2 \frac{4 \pi }{25} + icos^2 \frac{4 \pi }{25} = 1}\) Bo jednostką urojoną w postaci tryg jest isin ale w przykładzie mam że to jest icos.. czyli co mam w takim wypadku zrobić ?

[Premislav]

Przecież napisałem Ci, co masz zrobić - skorzystaj z tych wzorów, które poprzednio napisałem ( \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}- \frac{2\pi}{5}=}\)?), a następnie z nieparzystości sinusa i parzystości cosinusa. Potem już tylko

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%E2%80%99a

dla \(\displaystyle{ n=5}\).
A jednostką urojoną jest \(\displaystyle{ i}\), niezależnie od postaci czegokolwiek.

-- 31 paź 2015, o 11:54 --

Do obliczenia modułu tego, co chcesz potęgować, nie jest Ci potrzebne żadne przekształcenie, bo po prostu moduł liczby zespolonej to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej, czyli odległość (wg metryki euklidesowej) od zera na płaszczyźnie zespolonej.

-- 31 paź 2015, o 11:56 --

Noo, przepraszam, u elektroników jednostkę urojoną oznacza się chyba jako \(\displaystyle{ j}\), żeby się z czymś tam nie myliło (z natężeniem?? Nie pamiętam).

[fulman22]

Skorzystałem z wzorów redukcyjnych i otrzymałem: \(\displaystyle{ isin= \frac{ \pi }{10}}\) \(\displaystyle{ cos= \frac{ \pi }{10}}\)

[Premislav]

Oj, chyba nie to chciałeś zapisać (zachęcam do klarownego i ścisłego zapisu, bo to nie w porządku, żeby ludzie, którzy za darmo, z dobrego serca Ci pomagają, musieli się domyślać, o co chodzi) , pewnie miałeś na myśli to, że ta liczba, którą chcesz podnieść do potęgi piątej, jest równa \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{10} -i\sin \frac{\pi}{10}}\). Zgadza się; no to teraz skorzystaj z nieparzystości sinusa i parzystości cosinusa, tj. \(\displaystyle{ -\sin x=\sin(-x)}\) etc. Będziesz mieć ładną postać trygonometryczną i można będzie zakończyć zadanie zużyciem wzoru de Moivre'a, który podrzuciłem.

[fulman22]

Oj, chyba nie to chciałeś zapisać (zachęcam do klarownego i ścisłego zapisu, bo to nie w porządku, żeby ludzie, którzy za darmo, z dobrego serca Ci pomagają, musieli się domyślać, o co chodzi) , pewnie miałeś na myśli to, że ta liczba, którą chcesz podnieść do potęgi piątej, jest równa \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{10} -i\sin \frac{\pi}{10}}\). Zgadza się; no to teraz skorzystaj z nieparzystości sinusa i parzystości cosinusa, tj. \(\displaystyle{ -\sin x=\sin(-x)}\) etc. Będziesz mieć ładną postać trygonometryczną i można będzie zakończyć zadanie zużyciem wzoru de Moivre'a, który podrzuciłem.

Przepraszam za mój zapis po prostu szybko piszę bo staram się uczyć teraz tego Rozumiem że cały zabieg z skorzystaniem z wzoru redukcyjnego polegał na tym aby z icos zrobić isin aby wszystko ładnie pasowało do naszej postaci trygonometrycznej ?

[Premislav]

Dokładnie.

[fulman22]

Dokładnie.

Zadanie rozwiązałem w ten sposób: Jeśli sin jest ujemny a cos dodatni to kąt Fi leży w IV czyli: \(\displaystyle{ 2 \pi - \frac{ \pi }{10} = \frac{19 \pi }{10}}\)

Moduł wychodzi 1 więc podstawiając mój kąt fi do wzoru de Moivre'a, otrzymuje \(\displaystyle{ 1^5(cos(5 * \frac{19 \pi }{10}) + isin (5 * \frac{19 \pi }{10})) = 1(0 * i) = i}\)

5 z 10 się skróci potem wyciągnąłem całość z ułamka i wychodzi 8 czyli korzystając z okresowości zostaje mi tylko \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i podstawiając tylko do tego nasze liczby otrzymujemy wynik w postaci i. Czy zadanie jest poprawne rozwiązane ?

[Premislav]

Tak.

[fulman22]

Tak.

Dzięki za pomoc Będę pamiętał o tym wzorze redukcyjnym -- 31 paź 2015, o 16:46 --2) będą one leżały na okręgu na płaszczyźnie zespolonej, mającym promień \(\displaystyle{ \sqrt{16}=4}\), zaś argumenty kątowe (zaznaczasz je zgodnie z powszechnie przyjętą konwencją przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) odczytasz z postaci trygonometrycznej.[/quote]


Wyliczyłem pierwiastki i wyszło mi coś takiego W0 = \(\displaystyle{ cos 2\sqrt{2} + isin 2\sqrt{2}}\)
W1= \(\displaystyle{ - cos 2\sqrt{2} - isin 2\sqrt{2}}\)

I jak mam to teraz zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej ?