Niech \(\displaystyle{ A={z; 2 \ge |z|}\) oraz \(\displaystyle{ Im(z) \ge 0}}\)
Znaleźć zbiory \(\displaystyle{ f(A)}\) i \(\displaystyle{ g(A)}\) gdzie są określone wzorami \(\displaystyle{ f(z)=z^{2}+2}\), \(\displaystyle{ g(z)=iz^{3}-i}\).
Zbiór A wyznaczyłem bez problemu. To połowa koła nad osią X, ale kompletnie nie wiem co mam zeobić z tą zmienną zespoloną. Widziałem jakies rozłożenie na wektory, ale co pozniej?
Funkcja zmiennej zespolonej
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Funkcja zmiennej zespolonej
Zobaczmy jak wygląda \(\displaystyle{ f(A)}\) po rozpisaniu z definicji:
\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ y \in \CC \colon \exists z \colon |z|\leq 2, \mbox{Im }z\geq 0, y=z^2+2\right\}}\)
Obczaj, że
\(\displaystyle{ |z|\leq 2 \implies |z^2| \leq 4 \\
y=z^2+2 \iff z^2=y-2 \\
|z^2|=|y-2| \leq 4}\)
To po pierwsze.
Po drugie: jeśli \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to \(\displaystyle{ z^2=a^2-b^2+2abi}\). \(\displaystyle{ b \geq 0}\), natomiast \(\displaystyle{ a}\) jest dowolne. Jakie liczby zespolone \(\displaystyle{ z^2}\) możesz uzyskać, ustalając \(\displaystyle{ b}\) z zadanego zakresu i manipulując tylko parametrem \(\displaystyle{ a}\)? Albo jakich nie da się uzyskać?
\(\displaystyle{ f(A)=\left\{ y \in \CC \colon \exists z \colon |z|\leq 2, \mbox{Im }z\geq 0, y=z^2+2\right\}}\)
Obczaj, że
\(\displaystyle{ |z|\leq 2 \implies |z^2| \leq 4 \\
y=z^2+2 \iff z^2=y-2 \\
|z^2|=|y-2| \leq 4}\)
To po pierwsze.
Po drugie: jeśli \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to \(\displaystyle{ z^2=a^2-b^2+2abi}\). \(\displaystyle{ b \geq 0}\), natomiast \(\displaystyle{ a}\) jest dowolne. Jakie liczby zespolone \(\displaystyle{ z^2}\) możesz uzyskać, ustalając \(\displaystyle{ b}\) z zadanego zakresu i manipulując tylko parametrem \(\displaystyle{ a}\)? Albo jakich nie da się uzyskać?