Udowodnić, że \(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{2}=|z_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{1} + z_{2} + z_{3}=0}\) wtedy i tylko wtedy gdy punkty płaszczyzny odpowiadające liczbom zespolonym \(\displaystyle{ z_{1} , z_{2} , z_{3}}\) tworzą trójkąt foremny o środku w zerze (środek=punkt przecianania się wysokości trójkąta).
Zastanawia mnie tylko to "wtedy i tylko wtedy", bo nie wiem od której strony się za to zabrać. Zrobiłem, że dla \(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{2}=|z_{3}|}\) oraz \(\displaystyle{ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}\) ten trójkąt jest foremny o środku w zerze czyli:
Skoro ma środek w zerze i jest foremny:
W formenym czyli równobocznym trójkącie środek leży na przecięciu wysokości i te wyskości przecianją się wszywtkie w stosunku \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 1}\), a zatem odległości wierchołków tego trójkąta od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) są równe
\(\displaystyle{ \sqrt({x_{1}^{2}-0^{2}) +({y_{1}^{2}-0^{2}) =\sqrt({x_{2}^{2}-0^{2}) +({y_{2}^{2}-0^{2})=\sqrt({x_{3}^{2}-0^{2}) +({y_{3}^{2}-0^{2})}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{1}|=|z_{1}|}\)
Otrzymujemy warunek pierwszy z zadania.
skoro jest foremny:
\(\displaystyle{ (x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} = (x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2} = (x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}}\)
przekształcam do
\(\displaystyle{ (|Z_{1}|+|Z_{3}|)(|Z_{1}|-|Z_{3}|) = 2(x_{2}(x_{1}-x_{3}) + y_{2}(y_{1}-y_{3}))}\)
wiedząc, że:
\(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{1}|=|z_{1}|}\)
\(\displaystyle{ 2(x_{2}(x_{1}-x_{3}) + y_{2}(y_{1}-y_{3}))=0}\)
wnioskuje, że
\(\displaystyle{ (x_{2} = 0 \wedge y_{2}=0) \vee x_{1}=x_{3} \wedge y_{1}=y_{3})}\)
\(\displaystyle{ 1. x_{2} = 0 \wedge y_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ |Z_{1}|=0}\)
\(\displaystyle{ |z_{1}|=|z_{1}|=|z_{1}|=0}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=z_{1}=z_{1}=0}\)
Otrzymujemy warunek drugi z zadania.
\(\displaystyle{ 2.x_{1}=x_{3} \wedge y_{1}=y_{3}}\)
wracamy do
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2} = (x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}}\)
wstawiamy dane i mamy
\(\displaystyle{ (x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2} = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ x_{2}=x{3} \wedge y_{2}=y_{3}}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=x_{3} \wedge y_{1}=y_{2}=y_{3}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=z_{1}=z_{1}}\)
skoro wszystkie trzy wierzchołki trójkąta mają współrzędne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) takie same to są w tym samym miejscu czyli ten trójkąt jest punktem czyli środek tego trójkata jest również tym jednym punktem, a ponieważ jego środek jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). to:
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 \wedge y_{1}=y_{2}=y_{3}=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ z_{1}=z_{1}=z_{1}=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ z_{1}+z_{1}+z_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ C.N.D}\)
Jest to wystarczające dla tego "wtedy i tylko wtedy" jak napisze to dokładnie tak jak wyżej?