narysowanie zbioru liczby zespolonej, postać wykładniza

[wojtek11530]

Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej znaleźć i narysować zbiór liczby zespolonej spełniającej warunek \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ z^{5}=-4\overline{z}}\)
Doprowadziłem do równości:
\(\displaystyle{ r^{5}e^{i5\Phi}=-4re^{-i\Phi}}\)
które prowadzi do 2 przypadków:
Pierwszy
\(\displaystyle{ r=0}\)
Drugi
\(\displaystyle{ r^{5}=-4r\wedge5\Phi=-\Phi+2k \pi}\)
z tego kąt wyjdzie \(\displaystyle{ \Phi= \frac{k\pi}{3}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
a \(\displaystyle{ r= \sqrt[4]{-4}}\)
\(\displaystyle{ r \in \left\{1+i,-1-i,-1-i,1-i \right\}}\)
I teraz nie wiem, bo \(\displaystyle{ r}\) powinno być liczbą rzeczywistą bo jest to moduł z liczby zespolonej.
Czy to oznacza że rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ r=0[/tx] czy może treba jeszcze coś obliczać w tym drugim przypadku?}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ z^{5}=-4\overline{z}}\)

\(\displaystyle{ r^{5}e^{i5\Phi}=4re^{i(-\Phi+ \pi )}}\)

\(\displaystyle{ r=0 \vee r^{4}e^{i(6\Phi- \pi)}=4}\)
\(\displaystyle{ r=0 \vee \left( r= \sqrt{2} \wedge \Phi= \frac{k2 \pi + \pi }{6}\right)}\)