Liczby zespolone - równanie

[95r]

Dzień dobry,
znajomy poprosił mnie o rozwiązanie równań:
1.
\(\displaystyle{ (z^3+8)(z^2+4z+13)=0}\)
2.
\(\displaystyle{ (z^3+i)(z^2+iz-2-6i)=0}\)
Wiem, że chodzi o liczby zespolone, ale, przyznam szczerze, ostatni raz miałem z nimi kontakt na studiach (dawno temu), a że nie zajmuję się tym zagadnieniem na codzień, niewiele pamiętam. Przykład wydaje się banalny, ale nie jestem w stanie dojść dalej niż:
\(\displaystyle{ z^5+4z^4+13z^3+8z^2+32z+104=0}\)
w pierwszym przykładzie. Czy mógłbym z tym postąpić tak jak z wielomianami (czyli założyć, że zamiast "z" mam "x" i rozwiązywać jak wielomian)?
W przykładzie 2. również mogę pomnożyć nawiasy, ale tutaj dochodzi jednostka urojona.
Bardzo proszę o pomoc!

[miodzio1988]

Nie ma co wymnażać.

Najpierw zajmij się drugim nawiasem. Delta i wzór na pierwiastki się kłaniają

[musialmi]

Ogólnie postępuj z tym jak z wielomianem; zasada \(\displaystyle{ xy=0 \iff (x=0 \vee y=0)}\) działa też w zespolonych i chyba nie ma w tym nic dziwnego
\(\displaystyle{ i}\) to liczba. Najważniejsze, o czym musisz pamiętać, to że pierwiastek zespolony to nie liczba, tylko zbiór.

[95r]

dziękuję!
w przykładzie 1. w drugim nawiasie wyszła delta ujemna
na podstawie policzyłem pierwiastki równania:
\(\displaystyle{ \delta = \sqrt{-36} = \sqrt{36}i = 6i}\)
\(\displaystyle{ z_1= \frac{-4-6i}{2}= -2-3i}\)
\(\displaystyle{ z_2= \frac{-4+6i}{2}= -2+3i}\)
czy to już koniec? czy jeszcze mam coś liczyć w pierwszym nawiasie? (bo wydaje mi się, że w takim razie trzecim rozwiązaniem będzie -2, ponieważ -2^3 daje -8 - nie wiem, czy dobrze rozumiem)

[miodzio1988]

No pierwiastki pierwszego nwiasu musisz teraz policzyć. Wzór pierwiastkowy de moivr'e się teraz kłania

[a4karo]

I pamiętaj: kazdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ k}\) w liczbach zespolonych ma dokładnie \(\displaystyle{ k}\) pierwiastków (licząc z krotnościami)