\(\displaystyle{ z ^{6}=2 ^{6}}\)
Z czego skorzystać?
Rozwiąż równanie
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \left| z\right|^6 e^{i6 \alpha }=2^6 \cdot e^{jk2 \pi } \\ \left| z\right| =2 \wedge \alpha =k \frac{ \pi }{3} \\ z_1= .... \vee .... \vee z_6=...}\)
lub
\(\displaystyle{ z=2 \sqrt[6]{1} \\ z_1= .... \vee .... \vee z_6=...}\)
lub
\(\displaystyle{ z=2 \sqrt[6]{1} \\ z_1= .... \vee .... \vee z_6=...}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozwiąż równanie
W tym przykładzie to można choćby i ze wzorów skróconego mnożenia.
Zapisujesz to sobie jako \(\displaystyle{ z^{6}-2^{6}=0}\), rozkładasz najpierw ze wzoru na różnicę sześcianów dla \(\displaystyle{ z^{2}}\) i \(\displaystyle{ 4}\), a potem dostajesz iloczyn trójmianu kwadratowego i czegoś, co można sprowadzić do rozważania trójmianu kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ t=z^{2}}\) (tylko pamietaj, że tu nie przejmujesz się ujemną deltą, wyciągasz i zespolone pierwiastki).
alternatywnie mozna zauważyć, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 2}\), a jeśli \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest pierwiastkiem zespolonym szóstego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) różnym od jedynki, to dochodzi nam rozwiązanie \(\displaystyle{ 2\cdot z_{0}}\), łącznie sześc rozwiązań. Pierwiastki zespolone n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) wyrażają się wzorami \(\displaystyle{ z_{k}=\cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) +i \sin\left( \frac{2k\pi}{n} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\)
Zapisujesz to sobie jako \(\displaystyle{ z^{6}-2^{6}=0}\), rozkładasz najpierw ze wzoru na różnicę sześcianów dla \(\displaystyle{ z^{2}}\) i \(\displaystyle{ 4}\), a potem dostajesz iloczyn trójmianu kwadratowego i czegoś, co można sprowadzić do rozważania trójmianu kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ t=z^{2}}\) (tylko pamietaj, że tu nie przejmujesz się ujemną deltą, wyciągasz i zespolone pierwiastki).
alternatywnie mozna zauważyć, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 2}\), a jeśli \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest pierwiastkiem zespolonym szóstego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) różnym od jedynki, to dochodzi nam rozwiązanie \(\displaystyle{ 2\cdot z_{0}}\), łącznie sześc rozwiązań. Pierwiastki zespolone n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) wyrażają się wzorami \(\displaystyle{ z_{k}=\cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) +i \sin\left( \frac{2k\pi}{n} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\)