\(\displaystyle{ (z+i) ^{4} = \frac{|z|^{8}}{81}}\)
Jakies wskazowki, najlepiej rozwiązanie ze wskazówkami?
Rozwiąż równanie.
-
kerajs
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Rozwiąż równanie.
A może tak:
Niech \(\displaystyle{ z+i=ae^{i \alpha }}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to moduł liczby \(\displaystyle{ z+i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ (z+i)^4=a^4e^{i 4\alpha }}\)
A skoro
\(\displaystyle{ a^4e^{i 4\alpha } \in \RR _{+} \Rightarrow \alpha =0 \vee \alpha = \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \pi \vee \alpha = \frac{3 \pi }{2}}\)
1.
\(\displaystyle{ \left( \alpha = \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \frac{3 \pi }{2}\right) \Rightarrow \left( z=iy \wedge y\in \RR\right)}\)
\(\displaystyle{ (iy+i)= \frac{ (\sqrt{y^2})^8 }{81} \\ (y+1)^4= \frac{y^8}{81} \\ \left| y+1\right|= \frac{y^2}{3} \\ .... \\ y= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{21} }{2} \vee y= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{21} }{2} \\ z_1=i ( \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{21} }{2}) \vee z_2= i(\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{21} }{2} )}\)
2.
\(\displaystyle{ \left( \alpha =0 \vee \alpha = \pi \right) \Rightarrow \left( z=x-i \wedge x\in \RR\right)}\)
\(\displaystyle{ (x-i+i)= \frac{ (\sqrt{x^2+1})^8 }{81} \\ x^4= \frac{(x^2+1)^4}{81} \\ \left| x\right|= \frac{x^2+1}{3} \\ .... \\ x= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= -\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= -\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2}\\ z_3= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2}-i \vee z_4= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2} -i \vee z_5= -\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2}-i \vee z_6= -\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2}-i}\)
Niech \(\displaystyle{ z+i=ae^{i \alpha }}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to moduł liczby \(\displaystyle{ z+i}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ (z+i)^4=a^4e^{i 4\alpha }}\)
A skoro
\(\displaystyle{ a^4e^{i 4\alpha } \in \RR _{+} \Rightarrow \alpha =0 \vee \alpha = \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \pi \vee \alpha = \frac{3 \pi }{2}}\)
1.
\(\displaystyle{ \left( \alpha = \frac{ \pi }{2} \vee \alpha = \frac{3 \pi }{2}\right) \Rightarrow \left( z=iy \wedge y\in \RR\right)}\)
\(\displaystyle{ (iy+i)= \frac{ (\sqrt{y^2})^8 }{81} \\ (y+1)^4= \frac{y^8}{81} \\ \left| y+1\right|= \frac{y^2}{3} \\ .... \\ y= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{21} }{2} \vee y= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{21} }{2} \\ z_1=i ( \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{21} }{2}) \vee z_2= i(\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{21} }{2} )}\)
2.
\(\displaystyle{ \left( \alpha =0 \vee \alpha = \pi \right) \Rightarrow \left( z=x-i \wedge x\in \RR\right)}\)
\(\displaystyle{ (x-i+i)= \frac{ (\sqrt{x^2+1})^8 }{81} \\ x^4= \frac{(x^2+1)^4}{81} \\ \left| x\right|= \frac{x^2+1}{3} \\ .... \\ x= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= -\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2} \vee x= -\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2}\\ z_3= \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2}-i \vee z_4= \frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2} -i \vee z_5= -\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5} }{2}-i \vee z_6= -\frac{3}{2} +\frac{ \sqrt{5} }{2}-i}\)