Pytanie na temat liczby sprzężonej i jej postaci trygonometr

[annuaki]

Weźmy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z = a+b \cdot i = \left| z\right|(\cos \alpha +i\sin \alpha)}\)
Wtedy postać algebraiczna liczby sprzężonej do tej liczby zespolonej będzie \(\displaystyle{ \vec{z} = a-b \cdot i}\)

Pytanie brzmi, czy postać trygonometryczna tej liczby sprzężonej będzie:
\(\displaystyle{ \left| z\right|(\cos \alpha -i\sin \alpha)}\) ?

I jeżeli tak, to czy można do takiej postaci liczby sprzężonej zastosować wzór de Moivre'a? A mianowicie wtedy to będzie zwykły wzór z tymi potęgami przy argumencie, a jedynie z tą różnicą, że przy sinusie będzie stał minus zamiast plusa?
tzn. czy:
\(\displaystyle{ [\left| z\right|(\cos \alpha -i\sin \alpha)]^{n} = (\left| z\right|) ^{n} (\cos n \alpha -i\sin n \alpha)}\) ?

[musialmi]

Geometrycznie sprzężenie to jest odbicie względem osi poziomej. Czyli moduł się nie zmieni, a kąt zmieni się z \(\displaystyle{ \alpha}\) na \(\displaystyle{ -\alpha}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \left| z\right|(\cos (-\alpha) +i\sin(- \alpha))=\left| z\right|(\cos \alpha -i\sin \alpha)}\). Ale możesz zostać przy pierwszej postaci - przy niej chyba nie ma wątpliwości czy wzór można zastosować?

[zatt1337]

Jesli masz liczbe sprzężoną, to jest ona symetryczna wzgledem osi RE z, zatem twoj nowy ką† \(\displaystyle{ \beta =- \alpha}\), a wzor deMoivra to bedize \(\displaystyle{ \beta =n \cdot -( \alpha )}\)

[annuaki]

Dziękuję, teraz już wiem jak dokończyć zadanie