Witam, mam następujące równanie:
\(\displaystyle{ { \left(\frac{ |e^{- \frac{6}{11}\pi j}|z-j }{ \frac{|z|^{2}}{\overline{z}}+j }\right)}^{4} = -4}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ |e^{- \frac{6}{11}\pi j}| = 1}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2} = x^2 + y^2 = z \cdot \overline{z}}\)
Powyższe równanie wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ {\left(\frac{z-j}{z+j}\right) }^{4} = -4}\)
Co teraz mogę z tym zrobić? Rozpisywanie z na x + jy i podnoszeni do potęgi to strasznie dużo roboty. Myślałem jeszcze nad policzeniem wszystkich pierwiastków 4. stopnia z -4 i przyrównaniu ich do lewej strony.
Rozwiąż równanie
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiąż równanie
Drugi pomysł jest lepszy.
\(\displaystyle{ z-j=(z+j) \sqrt[4]{-4} \\ z(1-\sqrt[4]{-4}) =j(1+\sqrt[4]{-4}) \\ z=j \frac{1+\sqrt[4]{-4}}{1-\sqrt[4]{-4}} \\ z _{1}=j \frac{1+1+j}{1-1-j} \ \vee \ z _{2}=j \frac{1-1+j}{1+1-j} \ \vee \ z _{3}=...... \ \vee \ z _{4}=..... \\ \ \vee \ z _{1}=-2-j \ \vee \ z _{2}=.... \ \vee \ z _{3}=..... \ \vee \ z _{4}=.....}\)
\(\displaystyle{ z-j=(z+j) \sqrt[4]{-4} \\ z(1-\sqrt[4]{-4}) =j(1+\sqrt[4]{-4}) \\ z=j \frac{1+\sqrt[4]{-4}}{1-\sqrt[4]{-4}} \\ z _{1}=j \frac{1+1+j}{1-1-j} \ \vee \ z _{2}=j \frac{1-1+j}{1+1-j} \ \vee \ z _{3}=...... \ \vee \ z _{4}=..... \\ \ \vee \ z _{1}=-2-j \ \vee \ z _{2}=.... \ \vee \ z _{3}=..... \ \vee \ z _{4}=.....}\)
-
sakilpl
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 wrz 2012, o 19:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Rozwiąż równanie
Dzięki za pomoc. A taki przykład:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2jz - 1}{j^8\left( z-5\right) } \right)^{4} = \left| e^{- \frac{7}{13}\pi j\right|}\left( -1 + \sqrt{3} \right) \left| -2+2j\right|^{2}j}\)
To upraszcza się do:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2jz - 1}{ z-5 } \right)^{4} = 8j\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\)
I teraz mogę robić analogicznie do przykładu powyżej ale pierwiastek z liczby \(\displaystyle{ 8j\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\) wygląda następująco:
\(\displaystyle{ w_{k} = \sqrt[4]{8\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\left( \cos\left( \frac{\pi + 4k\pi}{8} \right) + j\sin\left( \frac{\pi + 4k\pi}{8} \right) \right)}\)
Nie jest to "ładna liczba", dodatkowa pojawiają się kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) więc musiałbym zastosować wzory na połówki kąta. Czy da się rozwiązać ten przykład szybciej?
\(\displaystyle{ \left( \frac{2jz - 1}{j^8\left( z-5\right) } \right)^{4} = \left| e^{- \frac{7}{13}\pi j\right|}\left( -1 + \sqrt{3} \right) \left| -2+2j\right|^{2}j}\)
To upraszcza się do:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2jz - 1}{ z-5 } \right)^{4} = 8j\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\)
I teraz mogę robić analogicznie do przykładu powyżej ale pierwiastek z liczby \(\displaystyle{ 8j\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\) wygląda następująco:
\(\displaystyle{ w_{k} = \sqrt[4]{8\left( -1 + \sqrt{3} \right)}\left( \cos\left( \frac{\pi + 4k\pi}{8} \right) + j\sin\left( \frac{\pi + 4k\pi}{8} \right) \right)}\)
Nie jest to "ładna liczba", dodatkowa pojawiają się kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) więc musiałbym zastosować wzory na połówki kąta. Czy da się rozwiązać ten przykład szybciej?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiąż równanie
Opcja przy której byłoby szybsze, a raczej łatwiejsze rozwiązanie to tylko błąd przy przepisywaniu.
Gdyby było tam: \(\displaystyle{ -1+j \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ -j+ \sqrt{3}}\) to po prawej stronie pojawi się łatwiejszy \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}}\) ale kąty będą jeszcze gorsze. Z drugiej strony, postać trygonometryczna jest równoprawna z ogólną, więc rozwiązania mogą być w niej wyrażone wraz z ,,brzydkimi' kątami.
Gdyby było tam: \(\displaystyle{ -1+j \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ -j+ \sqrt{3}}\) to po prawej stronie pojawi się łatwiejszy \(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}}\) ale kąty będą jeszcze gorsze. Z drugiej strony, postać trygonometryczna jest równoprawna z ogólną, więc rozwiązania mogą być w niej wyrażone wraz z ,,brzydkimi' kątami.