Proste równania z zespolonymi

[maciek1o3s]

Hej,
mam teraz zespolone na studiach i trochę się gubię w tym czego szukam w zadaniu. Poniżej 2 przykłady.

1) \(\displaystyle{ (z+2)^{2} = (\overline{z}+2)^{2}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ z^2 + 4z + 4 = \overline{z}^2+4\overline{z} + 4}\)

\(\displaystyle{ (x+iy)^2 + 4(x+iy) = (x-iy)^2+4(x-iy)}\)

\(\displaystyle{ 4xiy + 8iy = 0}\)

\(\displaystyle{ iy(x+2)=0}\)

No to teraz moim zdaniem:
\(\displaystyle{ x=-2 \vee i=0 \vee y=0}\)

Ale wolfram podaje odpowiedź:
\(\displaystyle{ y=0\\
x=-2}\)

Co ja robię źle?

2) \(\displaystyle{ z^2+3( \overline{z} )=0}\)

I moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x+iy)^2+3(x-iy)=0 \\
x^2+2xiy+i^2y^2+3x-3iy=0 \\
x^2+x(3+2iy)-y^2-3yi=0}\)

Policzmy deltę:
\(\displaystyle{ b^2 = (3+2iy)^2 = 9 +12iy - 4y^2 \\
4ac = 4(-y^2-3iy)=-4y^2-12iy}\)
To:
\(\displaystyle{ \Delta = 24iy + 9 \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{24iy + 9} \\
\Delta = w^2 = (a+ib)^2 = 24iy + 9 \\
a^2-b^2+i2ab=24iy+9 \\
\begin{cases} a^2-b^2=9 \\ 2ab=24y \end{cases} \\
ab=12y \\
b= \frac{12y}{a} \\
a^2-(\frac{12y}{a})^2=9 \\
a^4-9a^2-144y^2=0}\)
niech \(\displaystyle{ t = a^2}\)
\(\displaystyle{ t^2-9t-144y^2=0 \\
\Delta=\sqrt{81-4(-144y^2)} \\
\Delta=3\sqrt{9+64y^2} \\
t1= \frac{81-3\sqrt{9+64y^2}}{2} \\
t2= \frac{81+3\sqrt{9+64y^2}}{2}}\)

I co dalej? Jak to policzyć? Czego ja właściwie szukam? \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Jak mam je znaleźć jeśli ciągle przewija mi się \(\displaystyle{ y}\)? Myślałem, że szukam wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby zespolonej dla której równanie jest spełnione, ale wolfram podaje wynik dla \(\displaystyle{ y}\). Co rozumuje źle? Czego ja szukam w tym równaniu?

Proszę o pomoc

[a4karo]

Najpierw napisz te równania poprawnie, bo na razie każesz się domyślać gdzie są sprzęźenia.

1. czy \(\displaystyle{ i}\) może być równe zeru?

w 2 liczenie delty nic nie daje: porównaj część rzeczywista i część urojoną obu stron równania-- 25 paź 2015, o 15:03 --

4ac = 3(-y^2-3iy)=-4y^2-12iy

A skąd takie coś?

[maciek1o3s]

Dzięki za odp, fakt i nie może być równe 0, ale mógłbyś mi wytłumaczyć czemu? Chyba przespałem tę część tłumaczenia.

Już poprawiłem te fragmenty gdzie brakowało znaku sprzężenia.

Co do 2giego, zaraz to spróbuję zrobić i dam znać.

[a4karo]

Na przykatd dlatego, że gdyby było równe \(\displaystyle{ 0}\) to byłoby równe \(\displaystyle{ 0}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)

Albo dlatego, że \(\displaystyle{ i\cdot i=-1\neq 0}\)

Albo dlatego, że wtedy każda liczna zaspolona byłaby rrzeczywista, bo \(\displaystyle{ x+iy=x+0\cdot y=x}\)

[maciek1o3s]

Okej, co do drugiego mam coś takiego:
\(\displaystyle{ z^2=-3 \overline{z} \\
(x+iy)^2=-3(x-iy) \\
x^2+2xiy+i^2y^2=-3x+3iy \\
x^2-y^2+i2xy=-3x+i3y \\
\begin{cases} x^2-y^2=-3x \\ 2xy=3y \Rightarrow y(2x-3)=0 \Rightarrow y=0 \vee x=\frac32 \end{cases} \\
\mbox{1) }y=0 \\
x^2=-3x \\
x(x+3)=0 \\
x=0 \vee x=-3 \\
\mbox{2) }x= \frac{3}{2} \\
\frac{9}{4}-y^2=- \frac{9}{2}\\
y^2= \frac{27}{4} \\
y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)

I jak teraz podać rozwiązanie? W parach \(\displaystyle{ x,y}\) czy po prostu tak to się zostawia?
I czy to jest dobrze? Wydaje mi się, że nie bo wolfram podaje jedynie odpowiedzi dla \(\displaystyle{ y}\) i są zupełnie inne.

[a4karo]

Odpowiedzi powinienes podac w postaci liczb zespolonych. A żeby się przekonac czy sa poprawne, po prostu wstaw je do równania i wylicz.

I poczytaj punkt 8 instrukcji, to Ci się nie bedzie sprzeżenie mylic z wektorami

[maciek1o3s]

Czyli mam rozumieć, że jesli:
\(\displaystyle{ 1) y=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-3}\)
\(\displaystyle{ 2) x= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)

To finalne odpowiedzi do zadania będą wyglądać tak:
\(\displaystyle{ z=-3 \vee z= \frac{3}{2}+ i\frac{ \sqrt{27} }{2} \vee z= \frac{3}{2}- i\frac{ \sqrt{27} }{2}}\)

Czy dobrze napisałem?

[a4karo]

tak. (\(\displaystyle{ \sqrt{27}=3\sqrt{3}}\))

[maciek1o3s]

Okej, dzięki za odpowiedź.
Czyli w pierwszym będzie po prostu:
\(\displaystyle{ z=-2}\)
yup?

[SidCom]

Tak na przyszłość - znak sprzężenia uzyskasz tak

Kod: Zaznacz cały

overline{z}

[maciek1o3s]

Dzieki wam, do zamknięcia =)