Proste równania z zespolonymi
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz
Proste równania z zespolonymi
Hej,
mam teraz zespolone na studiach i trochę się gubię w tym czego szukam w zadaniu. Poniżej 2 przykłady.
1) \(\displaystyle{ (z+2)^{2} = (\overline{z}+2)^{2}}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ z^2 + 4z + 4 = \overline{z}^2+4\overline{z} + 4}\)
\(\displaystyle{ (x+iy)^2 + 4(x+iy) = (x-iy)^2+4(x-iy)}\)
\(\displaystyle{ 4xiy + 8iy = 0}\)
\(\displaystyle{ iy(x+2)=0}\)
No to teraz moim zdaniem:
\(\displaystyle{ x=-2 \vee i=0 \vee y=0}\)
Ale wolfram podaje odpowiedź:
\(\displaystyle{ y=0\\
x=-2}\)
Co ja robię źle?
2) \(\displaystyle{ z^2+3( \overline{z} )=0}\)
I moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x+iy)^2+3(x-iy)=0 \\
x^2+2xiy+i^2y^2+3x-3iy=0 \\
x^2+x(3+2iy)-y^2-3yi=0}\)
Policzmy deltę:
\(\displaystyle{ b^2 = (3+2iy)^2 = 9 +12iy - 4y^2 \\
4ac = 4(-y^2-3iy)=-4y^2-12iy}\)
To:
\(\displaystyle{ \Delta = 24iy + 9 \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{24iy + 9} \\
\Delta = w^2 = (a+ib)^2 = 24iy + 9 \\
a^2-b^2+i2ab=24iy+9 \\
\begin{cases} a^2-b^2=9 \\ 2ab=24y \end{cases} \\
ab=12y \\
b= \frac{12y}{a} \\
a^2-(\frac{12y}{a})^2=9 \\
a^4-9a^2-144y^2=0}\)
niech \(\displaystyle{ t = a^2}\)
\(\displaystyle{ t^2-9t-144y^2=0 \\
\Delta=\sqrt{81-4(-144y^2)} \\
\Delta=3\sqrt{9+64y^2} \\
t1= \frac{81-3\sqrt{9+64y^2}}{2} \\
t2= \frac{81+3\sqrt{9+64y^2}}{2}}\)
I co dalej? Jak to policzyć? Czego ja właściwie szukam? \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Jak mam je znaleźć jeśli ciągle przewija mi się \(\displaystyle{ y}\)? Myślałem, że szukam wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby zespolonej dla której równanie jest spełnione, ale wolfram podaje wynik dla \(\displaystyle{ y}\). Co rozumuje źle? Czego ja szukam w tym równaniu?
Proszę o pomoc
mam teraz zespolone na studiach i trochę się gubię w tym czego szukam w zadaniu. Poniżej 2 przykłady.
1) \(\displaystyle{ (z+2)^{2} = (\overline{z}+2)^{2}}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ z^2 + 4z + 4 = \overline{z}^2+4\overline{z} + 4}\)
\(\displaystyle{ (x+iy)^2 + 4(x+iy) = (x-iy)^2+4(x-iy)}\)
\(\displaystyle{ 4xiy + 8iy = 0}\)
\(\displaystyle{ iy(x+2)=0}\)
No to teraz moim zdaniem:
\(\displaystyle{ x=-2 \vee i=0 \vee y=0}\)
Ale wolfram podaje odpowiedź:
\(\displaystyle{ y=0\\
x=-2}\)
Co ja robię źle?
2) \(\displaystyle{ z^2+3( \overline{z} )=0}\)
I moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x+iy)^2+3(x-iy)=0 \\
x^2+2xiy+i^2y^2+3x-3iy=0 \\
x^2+x(3+2iy)-y^2-3yi=0}\)
Policzmy deltę:
\(\displaystyle{ b^2 = (3+2iy)^2 = 9 +12iy - 4y^2 \\
4ac = 4(-y^2-3iy)=-4y^2-12iy}\)
To:
\(\displaystyle{ \Delta = 24iy + 9 \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{24iy + 9} \\
\Delta = w^2 = (a+ib)^2 = 24iy + 9 \\
a^2-b^2+i2ab=24iy+9 \\
\begin{cases} a^2-b^2=9 \\ 2ab=24y \end{cases} \\
ab=12y \\
b= \frac{12y}{a} \\
a^2-(\frac{12y}{a})^2=9 \\
a^4-9a^2-144y^2=0}\)
niech \(\displaystyle{ t = a^2}\)
\(\displaystyle{ t^2-9t-144y^2=0 \\
\Delta=\sqrt{81-4(-144y^2)} \\
\Delta=3\sqrt{9+64y^2} \\
t1= \frac{81-3\sqrt{9+64y^2}}{2} \\
t2= \frac{81+3\sqrt{9+64y^2}}{2}}\)
I co dalej? Jak to policzyć? Czego ja właściwie szukam? \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Jak mam je znaleźć jeśli ciągle przewija mi się \(\displaystyle{ y}\)? Myślałem, że szukam wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby zespolonej dla której równanie jest spełnione, ale wolfram podaje wynik dla \(\displaystyle{ y}\). Co rozumuje źle? Czego ja szukam w tym równaniu?
Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 25 paź 2015, o 23:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 6 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \overline.
Powód: Poprawa wiadomości: \overline.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Proste równania z zespolonymi
Najpierw napisz te równania poprawnie, bo na razie każesz się domyślać gdzie są sprzęźenia.
1. czy \(\displaystyle{ i}\) może być równe zeru?
w 2 liczenie delty nic nie daje: porównaj część rzeczywista i część urojoną obu stron równania-- 25 paź 2015, o 15:03 --
1. czy \(\displaystyle{ i}\) może być równe zeru?
w 2 liczenie delty nic nie daje: porównaj część rzeczywista i część urojoną obu stron równania-- 25 paź 2015, o 15:03 --
A skąd takie coś?4ac = 3(-y^2-3iy)=-4y^2-12iy
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz
Proste równania z zespolonymi
Dzięki za odp, fakt i nie może być równe 0, ale mógłbyś mi wytłumaczyć czemu? Chyba przespałem tę część tłumaczenia.
Już poprawiłem te fragmenty gdzie brakowało znaku sprzężenia.
Co do 2giego, zaraz to spróbuję zrobić i dam znać.
Już poprawiłem te fragmenty gdzie brakowało znaku sprzężenia.
Co do 2giego, zaraz to spróbuję zrobić i dam znać.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Proste równania z zespolonymi
Na przykatd dlatego, że gdyby było równe \(\displaystyle{ 0}\) to byłoby równe \(\displaystyle{ 0}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)
Albo dlatego, że \(\displaystyle{ i\cdot i=-1\neq 0}\)
Albo dlatego, że wtedy każda liczna zaspolona byłaby rrzeczywista, bo \(\displaystyle{ x+iy=x+0\cdot y=x}\)
Albo dlatego, że \(\displaystyle{ i\cdot i=-1\neq 0}\)
Albo dlatego, że wtedy każda liczna zaspolona byłaby rrzeczywista, bo \(\displaystyle{ x+iy=x+0\cdot y=x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz
Proste równania z zespolonymi
Okej, co do drugiego mam coś takiego:
\(\displaystyle{ z^2=-3 \overline{z} \\
(x+iy)^2=-3(x-iy) \\
x^2+2xiy+i^2y^2=-3x+3iy \\
x^2-y^2+i2xy=-3x+i3y \\
\begin{cases} x^2-y^2=-3x \\ 2xy=3y \Rightarrow y(2x-3)=0 \Rightarrow y=0 \vee x=\frac32 \end{cases} \\
\mbox{1) }y=0 \\
x^2=-3x \\
x(x+3)=0 \\
x=0 \vee x=-3 \\
\mbox{2) }x= \frac{3}{2} \\
\frac{9}{4}-y^2=- \frac{9}{2}\\
y^2= \frac{27}{4} \\
y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)
I jak teraz podać rozwiązanie? W parach \(\displaystyle{ x,y}\) czy po prostu tak to się zostawia?
I czy to jest dobrze? Wydaje mi się, że nie bo wolfram podaje jedynie odpowiedzi dla \(\displaystyle{ y}\) i są zupełnie inne.
\(\displaystyle{ z^2=-3 \overline{z} \\
(x+iy)^2=-3(x-iy) \\
x^2+2xiy+i^2y^2=-3x+3iy \\
x^2-y^2+i2xy=-3x+i3y \\
\begin{cases} x^2-y^2=-3x \\ 2xy=3y \Rightarrow y(2x-3)=0 \Rightarrow y=0 \vee x=\frac32 \end{cases} \\
\mbox{1) }y=0 \\
x^2=-3x \\
x(x+3)=0 \\
x=0 \vee x=-3 \\
\mbox{2) }x= \frac{3}{2} \\
\frac{9}{4}-y^2=- \frac{9}{2}\\
y^2= \frac{27}{4} \\
y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)
I jak teraz podać rozwiązanie? W parach \(\displaystyle{ x,y}\) czy po prostu tak to się zostawia?
I czy to jest dobrze? Wydaje mi się, że nie bo wolfram podaje jedynie odpowiedzi dla \(\displaystyle{ y}\) i są zupełnie inne.
Ostatnio zmieniony 25 paź 2015, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Proste równania z zespolonymi
Odpowiedzi powinienes podac w postaci liczb zespolonych. A żeby się przekonac czy sa poprawne, po prostu wstaw je do równania i wylicz.
I poczytaj punkt 8 instrukcji, to Ci się nie bedzie sprzeżenie mylic z wektorami
I poczytaj punkt 8 instrukcji, to Ci się nie bedzie sprzeżenie mylic z wektorami
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz
Proste równania z zespolonymi
Czyli mam rozumieć, że jesli:
\(\displaystyle{ 1) y=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-3}\)
\(\displaystyle{ 2) x= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)
To finalne odpowiedzi do zadania będą wyglądać tak:
\(\displaystyle{ z=-3 \vee z= \frac{3}{2}+ i\frac{ \sqrt{27} }{2} \vee z= \frac{3}{2}- i\frac{ \sqrt{27} }{2}}\)
Czy dobrze napisałem?
\(\displaystyle{ 1) y=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-3}\)
\(\displaystyle{ 2) x= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{27} }{2} \vee y=- \frac{ \sqrt{27}}{2}}\)
To finalne odpowiedzi do zadania będą wyglądać tak:
\(\displaystyle{ z=-3 \vee z= \frac{3}{2}+ i\frac{ \sqrt{27} }{2} \vee z= \frac{3}{2}- i\frac{ \sqrt{27} }{2}}\)
Czy dobrze napisałem?
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz
Proste równania z zespolonymi
Okej, dzięki za odpowiedź.
Czyli w pierwszym będzie po prostu:
\(\displaystyle{ z=-2}\)
yup?
Czyli w pierwszym będzie po prostu:
\(\displaystyle{ z=-2}\)
yup?
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 125 razy
Proste równania z zespolonymi
Tak na przyszłość - znak sprzężenia uzyskasz tak
Kod: Zaznacz cały
overline{z}
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 7 lis 2013, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Podziękował: 1 raz