Równania zespolone

[NogaWeza]

W tym temacie chciałbym wstawić parę zadań z liczb zespolonych do sprawdzenia.
1) \(\displaystyle{ (z-1)^4 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ u = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Stwierdziłem, że dobrym pomysłem będzie znalezienie zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[4]{u}}\)
Argument to \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2k \pi, \quad k \in Z}\)
\(\displaystyle{ u_k = \cos{ \frac{\frac{\pi}{3} + 2k \pi}{4} } + i \sin{ \frac{\frac{\pi}{3} + 2k \pi}{4} }}\), dla \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)
Zadanie sprowadza się do policzenia wartości sinusa i cosinusa kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) i zastosowaniu odpowiednich wzorów redukcyjnych. Nie będę może przepisywał całości obliczeń, otrzymałem:
\(\displaystyle{ \sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\)

\(\displaystyle{ u_0 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ u_1 = ...}\) i tak dalej.
I teraz kolejno:
\(\displaystyle{ z - 1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \vee z - 1 = ...}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 4}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \vee z = ...}\)
Nie przepisuję wszystkich obliczeń, bo jestem leniwym człowiekiem. Zależy mi głównie na sprawdzeniu mojej metody.
Z góry dziękuję za pomoc.

[Premislav]

Metoda jest spoko Maroko. Funkcje kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) też mi takie wyszły (a wolfram sprawdził, bo biorę poprawkę na moją obliczeniową indolencję).

[NogaWeza]

2) \(\displaystyle{ \frac{z^6}{|z|^4} = \overline{z}}\)
\(\displaystyle{ |z| \neq 0}\)
\(\displaystyle{ z^6 = \overline{z} |z|^4}\)
\(\displaystyle{ |z|^6 e^{\left( i \cdot 6 \phi\right) } = |z|^5 e^{\left( -i \cdot \phi\right) }}\)
Stąd wiem, że \(\displaystyle{ |z| = 1}\) oraz, że \(\displaystyle{ \phi = \frac{2k \pi}{7}}\)
Odpowiedzią są zatem liczby postaci \(\displaystyle{ z = e^{i\frac{2k \pi}{7}}, \quad k \in\left\{ 0, 1, ..., 6\right\}}\)
Tak czy nie tak?

[Premislav]

Sam pomysł jest fajny, ale obawiam się, że wkradł się maluteńki James Błąd.
Masz \(\displaystyle{ z^{6}=\overline{z}\left| z\right|^{4}}\) i teraz jak sądzę chcesz skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ z\overline{z}=\left| z\right|^{2}}\). No to skoro wykluczyłeś \(\displaystyle{ z=0}\), możesz zapisać
\(\displaystyle{ \ovelrine{z}\left| z\right|^{4}=z^{-1}z\overline{z}\left| z\right|^{4}=z^{-1}\left| z\right|^{6}}\) - po prostu zgubiłeś jedną potęgę.
Co zabawne, jako że musi być \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\), co można było wywnioskować już z wyjściowego równania, porównując moduł lewej i prawej strony, ta mała pomyłka nie zmieniła wyniku, który jest OK.