Zbiór liczb zespolonych

[takanator]

Zilustrować na płaszczyźnie zbiór:
\(\displaystyle{ \Im( \overline{z} + 2 - i)^4 > 0}\)
Jak to rozwiązać?
Albo ogólnie jak rozwiązać zadanie typu \(\displaystyle{ \Im(z^4) > 0}\)?

[SlotaWoj]

Ponieważ. \(\displaystyle{ \Im(z^4)>0 \Leftrightarrow 0<\mbox{Arg}(z^4)<\pi}\). i. \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z^4)=4\mbox{Arg}(z)}\),. to. \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dr}{0.5 0 0}{\dr{0<\mbox{Arg}(z)<\pi/4}}}\).

Edit:
––––––
@Takanator
Zapis poniekąd błędny. Czytaj kolejne posty.

[a4karo]

Ponieważ. \(\displaystyle{ \Im(z^4)>0 \Leftrightarrow 0<\mbox{Arg}(z^4)<\pi}\). i. \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z^4)=4\mbox{Arg}(z)}\),. to. \(\displaystyle{ 0<\mbox{Arg}(z)<\pi/4}\).

To chyba nie wszystko, nieprawdaż? (popatrz na argumenty \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+\varepsilon}\))

[SlotaWoj]

@A4karo
To byłą odpowiedź na pytanie:

Albo ogólnie jak rozwiązać zadanie typu \(\displaystyle{ \Im(z^4)>0}\)?

Czy czegoś brak?

[a4karo]

Ano brak
zapomniałeś o okresowości argumentu. Powinno być
\(\displaystyle{ \Im(z^4)>0 \Leftrightarrow 0+2k\pi<\mbox{Arg}(z^4)<\pi+2k\pi.}\) i. \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z^4)=4\mbox{Arg}(z)}\),. to. \(\displaystyle{ k\frac{\pi}{2}<\mbox{Arg}(z)<\pi/4+k\frac{\pi}{2},}\)
z czego w zakresie \(\displaystyle{ 0\dots 2\pi}\) sa te odpowiadajace \(\displaystyle{ =k=0,1,2,3}\)

[SidCom]

a4karo,
\(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z)}\) tak się oznacza argument główny i on spełnia co następuje \(\displaystyle{ -\pi<\mbox{Arg}(z)<\pi}\) zatem SlotaWoj pisze prawdę, ale oczywiście polecenie jest ogólniejsze - chodzi o wszystkie argumenty i tu Ty masz rację ale zapis przez duże "A" ma swoją treść matematyczną...

W szczególności zapis:

\(\displaystyle{ 0+2k\pi<\mbox{Arg}(z^4)<\pi+2k\pi}\)

nie ma sensu

[a4karo]

a4karo,
\(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z)}\) tak się oznacza argument główny i on spełnia co następuje \(\displaystyle{ -\pi<\mbox{Arg}(z)<\pi}\) zatem SlotaWoj pisze prawdę, ale oczywiście polecenie jest ogólniejsze - chodzi o wszystkie argumenty i tu Ty masz rację ale zapis przez duże "A" ma swoją treść matematyczną...

W szczególności zapis:

\(\displaystyle{ 0+2k\pi<\mbox{Arg}(z^4)<\pi+2k\pi}\)

nie ma sensu

Jasne. Powinno być
\(\displaystyle{ 0+2k\pi<\mbox{arg}(z^4)<\pi+2k\pi}\)

Ale żeby byc precyzyjnym, to również \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z^4)=4\mbox{Arg}(z)}\) jest nieprawdą

[SidCom]

Ale żeby byc precyzyjnym, to również
\(\displaystyle{ \mbox{Arg}(z^4)=4\mbox{Arg}(z)}\) jest nieprawdą

nieprawdą dla tych \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ 4\mbox{Arg}(z)}\) wyskoczy z przedziału \(\displaystyle{ (-\pi;\pi)}\)

[a4karo]

Innymi słowy, wystarczy w postach SlotaWoja i moich zastąpić \(\displaystyle{ \mbox{Arg}}\) przez \(\displaystyle{ \mbox{arg}}\).

[SidCom]

My jesteśmy w tym zorientowani - drobne nieścisłości. Istotne jest by takanator skumał

[SlotaWoj]

@A4karo, @SidCom
Dziękują za Waszą dyskusję.
Wynika z niej, że jednak nie wystarczy w moich postach zastąpić \(\displaystyle{ \mbox{Arg}}\) przez \(\displaystyle{ \arg}\) i powinno być:

• \(\displaystyle{ 0+k\frac{\pi}{2}<\arg}(z)<\pi/4+k\frac{\pi}{2};\ k\in\ZZ}\)

[takanator]

czyli wykres przykładu \(\displaystyle{ \Im( \overline{z} + 2 - i)^4 > 0}\) będzie wyglądał tak? ->

Narysowałem \(\displaystyle{ 0 \le \arg(z)^4 \le \frac{\pi}{4}}\) odbiłem na \(\displaystyle{ 0 \le \arg(\overline{z}) \le \frac{\pi}{4}}\) po czym przesunąłem o liczbę \(\displaystyle{ 2 - i}\)

[a4karo]

Ten zbiór ma cztery "skrzydełka"

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dr}{0.5 0 0}\newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}\Im(\overline{z}+{\dr{2}}-{\dg{i}})^4 > 0}\)

... i ma być przesunięty o 2 w lewo i 1 do góry.