Kilka pytań dotyczących liczb zespolonych

[NogaWeza]

1) Sprowadzić do postaci algebraicznej następujące wyrażenie \(\displaystyle{ z = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}} \cdot \frac{(1+i)^{n-2}}{(1+i)^{n-2}} = \frac{(1+i)^{2n -2}}{2^{n-2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2n -2} \left[ \cos{\frac{\pi(2n-2)}{4}} + i \sin{\frac{\pi(2n-2)}{4}} \right] }{2^{n-2}} = 2 \left[ \cos{\frac{\pi(n-1)}{2}} + i \sin{\frac{\pi(n-1)}{2}} \right]}\)
To co otrzymałem nie pokrywa się z odpowiedzią. Gdzie zrobiłem błąd?

2) Polecenie jak wyżej.
\(\displaystyle{ z = (\sin{\alpha} + i \cos{\alpha})^n = \left[ \cos{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) + i \sin{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) }}\right]^n = \cos{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n\right) }\right + i \sin{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n \right)} \right]}\)
Nie wiem jak to sprowadzić do postaci dwumiennej.

[miodzio1988]

Sprowadzić do postaci algebraicznej

Masz takie polecenie a wyniki podajesz w postaci trygonometrycznej. To jest główny błąd

[NogaWeza]

[...]
Nie wiem jak to sprowadzić do postaci dwumiennej.

Natomiast w pierwszym nie widzę jak miałbym to inaczej zrobić. Skorzystać z dwumianu Newtona czy co?

[miodzio1988]

To co otrzymałem nie pokrywa się z odpowiedzią.

Jeżeli chcesz się w cytaty bawić. Wstaw kolejne \(\displaystyle{ n}\) i zobacz co dostajesz dla tych sinusów/cosinusów

[NogaWeza]

Dzięki, w pierwszym zatem \(\displaystyle{ z = 2i^{n+3}}\)

Natomiast ciągle nie mam pomysłu na zadanie drugie.-- 23 paź 2015, o 21:27 --Tak się zastanawiam czy w drugim mogę wyłączyć \(\displaystyle{ i^n}\) przed nawias i skorzystać z nieparzystości sinusa?
\(\displaystyle{ z = (\sin{\alpha} + i \cos{\alpha})^n = i^n(\cos{\alpha} -i \sin{\alpha})^n = i^n \left[\cos{(- \alpha)} + i \sin{(- \alpha)} \right]^n = i^n \left[\cos{(-n \alpha)} + i \sin{(- n\alpha)} \right] = i^n \left[\cos{(n \alpha)} -i \sin{( n \alpha)} \right]}\)
Nie sknociłem nic?