Witam!
Chciałbym Was zapytać o poprawność poniższego rozumowania.
A. Należy dowieść, że \(\displaystyle{ \arg(z\cdot w)= arg(z) + arg(w)}\)
1. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ arg(z) = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ arg(w) = \beta}\)
2. Zatem \(\displaystyle{ z = |z|(cos\alpha + isin\alpha)}\)
3. \(\displaystyle{ z\cdot w = |z|\cdot |w|[(cos \alpha\cdot \cos\beta −\sin \alpha \cdot \sin β)+i(\cos \alpha \cdot sin \beta +\cos \beta\cdot
\sin \alpha)]}\)
Następnie ze wzorów trygonometrycznych przejście do:
4. \(\displaystyle{ z \cdot w = |z|\cdot|w|[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)]}\)
Użyte wzory:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta}\)
\(\displaystyle{ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha}\)
B. Dowieść, że \(\displaystyle{ \arg\left( \frac{z}{w} \right)=\arg(z) − \arg(w)}\)
1. \(\displaystyle{ z = w \cdot \frac{z}{w}}\)
2. Rozpisanie ze wzoru A:
\(\displaystyle{ \arg(z) = \arg(w) + \arg\left( \frac{z}{w} \right)}\)
3. \(\displaystyle{ \arg\left( \frac{z}{w} \right) = \arg(z) - \arg(w)}\)
