Równość liczby zespolonej

[Bandysc]

Obliczyć: \(\displaystyle{ z^6\cdot \overline{z}^2 = 256}\).
A więc rozpisuję:
\(\displaystyle{ z^4\cdot (z\cdot\overline{z})^2 = 2^{8}}\)
\(\displaystyle{ z^4 \cdot \left| z\right|^{4} -2^{8} =0}\)
\(\displaystyle{ (z^2 \cdot \left| z\right|^{2} -2^{4})\cdot(z^2 \cdot \left| z\right|^{2} +2^{4}) =0}\)
\(\displaystyle{ (z \cdot \left| z\right| - 2^{2})\cdot(z \cdot \left| z\right| + 2^{2})\cdot(z^2 \cdot \left| z\right|^{2} +2^{4}) =0 \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ z \cdot \left| z\right| - 2^{2} = 0 \quad\vee}\)
\(\displaystyle{ z \cdot \left| z\right| + 2^{2} = 0 \quad\vee}\)
\(\displaystyle{ z^2 \cdot \left| z\right|^{2} +2^{4} =0}\)

I niestety nie wiem jak rozwiązać te równania :/

[MadJack]

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) któregoś z pierwszych dwóch równań, to jest ono rzeczywiste. Jeśli jest rozwiązaniem trzeciego, to jest urojone lub rzeczywiste.

EDIT: Napisałem tu oczywiście wcześniej nieprawdę, więc poprawiam.

[kerajs]

\(\displaystyle{ z^6\cdot \overline{z}^2 = 256}\).

\(\displaystyle{ \left| z\right|^6 e ^{i6 \alpha } \left| z\right|^2 e ^{-i2 \alpha }=2^8e ^{ik2 \pi }\\
\left| z\right|^8 e ^{i4 \alpha } =2^8e ^{ik2 \pi }\\ \left| z\right| =2 \wedge \alpha =k \frac{ \pi }{2} \\ z=2 \vee z=i2 \vee z=-2 \vee z=-i2}\)