Interpretacja geometryczna - moduł + arg < pi

[Rooster]

Witam!

Chciałbym zapytać o kwestię poniższego przykładu, gdzie trzeba zobrazować następujący zbiór:
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-1}{z-i}\right| > 1}\), \(\displaystyle{ \arg z < \pi}\)

\(\displaystyle{ |z-1| > |z-i|}\)

\(\displaystyle{ |x + yi -1| > |x + yi -i|}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2 + y^2} > \sqrt{x^2 + (y-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 > x^2 + (y-1)^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 - 2x + 1 +y^2 > x^2 + y^2 -2y + 1}\)

\(\displaystyle{ x^2}\) oraz \(\displaystyle{ y^2}\) się redukują:

\(\displaystyle{ - 2x + 1>-2y + 1}\)
\(\displaystyle{ -x +y > 0}\)
\(\displaystyle{ y > x}\)

1. Czy rozwiązaniem będzie górny obszar nad funkcją \(\displaystyle{ y = x}\) (wykres funkcji linią przerywaną)?

2. Czy \(\displaystyle{ \arg z < \pi}\) ma tutaj jakiś wpływ?

[Igor V]

Ma wpływ \(\displaystyle{ \arg z<\pi}\).Przecinek traktujesz jako spójnik logiczny \(\displaystyle{ \wedge}\)
Reszta dobrze.

[Rooster]

Dziękuję za odpowiedź.

Właśnie jak rysuję w Mathematica to niezależnie od ograniczenia \(\displaystyle{ \arg z<\pi}\) wychodzi mi to samo.

1. Miałem na myśli, czy jeśli jest ograniczenie mniejsze od \(\displaystyle{ \pi}\) to czy nie powinienem uwzględnić tylko dwóch pierwszych ćwiartek?

AU

mwz9lj.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 53 razy

Druga opcja:

AU

iz14t3.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 53 razy

[Igor V]

Druga opcja jest dobra.Skoro jest logiczny spójnik "i" to dla zbiorów przekłada się to na cześć wspólną.Więc bierzesz część wspólną dla \(\displaystyle{ y>x}\) i \(\displaystyle{ \arg z<\pi}\).Tylko pamiętaj o odpowiednich brzegach (linie przerywane) i o dziedzinie (\(\displaystyle{ z \neq i}\)).

[Rooster]

Dziękuję za odpowiedź.

Mam tylko takie pytanie, bo czasem w książkach definiują \(\displaystyle{ \arg z}\) w graniach \(\displaystyle{ -\pi}\) oraz \(\displaystyle{ \pi}\), a czasem od zera do \(\displaystyle{ 2\pi}\)... Wtedy dla pierwszej definicji ten warunek traci sens.

Ostateczny rysunek:

AU

ab36v9.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 53 razy

[Igor V]

Zapomniałeś jeszcze o \(\displaystyle{ z \neq i}\)
Szczerze mówiąc to nigdy nie myślałem o tym problemie, bo jestem raczej przyzwyczajony do \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\).Ale to jest już kwestia książki,wykładowcy etc. jak jest przyjmowany kąt.Tutaj jeśli miałoby być \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) to od razu widać że wychodzi coś innego, mianowicie pierwsza odpowiedź (z tym że brakuje tam linii przerywanych i że \(\displaystyle{ z \neq i}\)).Ale to jest kwestia po prostu ustalenia umowy.

[Rooster]

Uprzejmie dziękuję za pomoc. Załączam poprawiony obrazek i mam nadzieję, że jest już ok .

AU

206yo2g.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 53 razy