\(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left( 2+i\right) ^{8} }}\)
Da się to jakoś sprytnie obliczyć?
pierwiastek z potęgi liczby zespolonej
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
pierwiastek z potęgi liczby zespolonej
\(\displaystyle{ =(2+i)^{2}\left(\cos \frac{2k\pi}{4} +i\sin \frac{2k\pi}{4} \right), k=0,1,2,3}\).
Wynika to z tego, że jeśli \(\displaystyle{ w\in \CC}\) jest pierwiastkiem zespolonym k-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), a \(\displaystyle{ v_{0}}\) - taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ v^{k}_{0}=1}\), to również \(\displaystyle{ w \cdot v_{0}}\) jest pierwiastkiem zespolonym k-tego stopnia z \(\displaystyle{ z}\).-- 17 paź 2015, o 20:03 --No i masz tylko cztery pierwiastki zespolone czwartego stopnia z \(\displaystyle{ z\neq 0}\), więc to wyczerpuje wszystkie możliwości.
Wynika to z tego, że jeśli \(\displaystyle{ w\in \CC}\) jest pierwiastkiem zespolonym k-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), a \(\displaystyle{ v_{0}}\) - taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ v^{k}_{0}=1}\), to również \(\displaystyle{ w \cdot v_{0}}\) jest pierwiastkiem zespolonym k-tego stopnia z \(\displaystyle{ z}\).-- 17 paź 2015, o 20:03 --No i masz tylko cztery pierwiastki zespolone czwartego stopnia z \(\displaystyle{ z\neq 0}\), więc to wyczerpuje wszystkie możliwości.