Problem z postacią trygonometryczną

[Szaddaj]

Nie wiem czy dobrze obliczam kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) dla postaci trygonometrycznej. Np. mam zadanie a) \(\displaystyle{ -\sqrt{3}-i}\) i kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi}\), natomiast w podręczniku w odpowiedziach napisane jest \(\displaystyle{ - \frac{5}{6} \pi}\). Nie wiem czy w końcu ja źle liczę czy w podręczniku jest zła odpowiedź.

[Premislav]

Ty źle liczysz. Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) powinien spełniać warunki \(\displaystyle{ \cos \varphi=- \frac{ \sqrt{3} }{2}\wedge \sin\varphi=- \frac{1}{2}}\). Tymczasem \(\displaystyle{ \cos \frac{4}{3}\pi=\cos\left(- \frac{2}{3}\pi \right)=\cos \frac{2}{3}\pi=-\cos \frac{\pi}{3}=- \frac{1}{2}}\). Podejrzewam, że zamieniłeś cosinus z sinusem albo coś.

[Szaddaj]

To obliczanie kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) sprawia mi trochę trudności, więc może rozpiszę jak to robię a ktoś mi wskaże błąd.

1. Liczę moduł liczby \(\displaystyle{ - \sqrt{3}-i}\). \(\displaystyle{ \sqrt{3+1}= \sqrt{4}=2}\)
2. \(\displaystyle{ cos\varphi=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), \(\displaystyle{ sin\varphi- \frac{1}{2}}\)
3. Sin i cos są ujemne więc jest to III ćwiartka.
4. \(\displaystyle{ cos\left( \frac{3}{2} \pi - \alpha \right)=cos\left( \frac{3}{2} \pi - \frac{ \pi }{6} \right)=cos \frac{ \pi}{6}}\) - zmieniam na kofunkcje bo krotność jest nieparzysta i zmieniam znak bo sin w III ćwiartce jest ujemny, czyli ostatecznie wychodzi \(\displaystyle{ -sin \frac{ \pi }{6}}\)
I tu właściwie się już gubie, bo nie wiem czy dobrze to robię a jeżeli tak to co dalej.

[Premislav]

Twoje obliczenia są OK. No i dostajesz dokładnie to samo, co ja, kiedy sprawdzałem - to nie jest dobry argument kątowy, bo cosinus miał być \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), a wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\). Zwyczajnie nie było powodu, dla którego miałbyś wyjść od \(\displaystyle{ cos\left( \frac{3}{2} \pi - \alpha \right)}\) - należało obrać \(\displaystyle{ \cos(\pi+\alpha)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{6}}\) - też trzecia ćwiartka, no i dostaniesz "swojego" cosinusa. Dzieje się tak dlatego, że
\(\displaystyle{ \cos \frac \pi 6=\cos \left(- \frac \pi 6 \right)}\) z parzystości cosinusa oraz cosinus spełnia zależność \(\displaystyle{ \cos \left( \frac \pi 2 -x \right)=-\cos \left( \frac \pi 2 +x \right)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\), którą łatwo zauważyć z wykresu.

[Rooster]

Któraś z tych wartości jest preferowana czy to bez różnicy? Przyjmuje się częściej mniejszy kąt? Wiem, że to jedno i to samo, ale chodzi mi o konwencję. Czy powyżej \(\displaystyle{ \pi}\) lepiej operować na ujemnym kącie?

W sensie \(\displaystyle{ \frac{7}{6}\pi}\) a \(\displaystyle{ -\frac{5}{6}\pi?}\).

[Premislav]

W sumie nie wiem, na zajęciach, na które uczęszczałem (chodzi mi zwłaszcza o algebrę liniową), zwykle brało się argument z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\), ale dość popularne jest też \(\displaystyle{ [-pi, pi)}\).