równanie - liczby zespolone

[wojtek11530]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ (z+1) ^{n} -(z-1) ^{n} =0}\)
Przekształciłem to na \(\displaystyle{ (z+1) ^{n}=(z-1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ (z+1) ^{n}}{(z-1) ^{n}}=1}\)
i spierwiastkowałem
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1} = \sqrt[n]{1}}\)
Zrobiłe 2 przypadki,
I
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1}=1}\)
\(\displaystyle{ z+1=z-1}\)
\(\displaystyle{ 1=-1}\)
równanie sprzeczne, brak rozwiązań
II
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1}=-1}\)
\(\displaystyle{ z+1=1-z}\)
\(\displaystyle{ 2z=0}\)
\(\displaystyle{ z=0}\)

Lecz wydaje mi się że powinno być więcej przypadków, ale nie wiem jak je wyznaczyć. Ma ktoś może jakiś pomysł jak to można rozwiązać?

[Premislav]

Po pierwsze nie powinieneś dzielić przez \(\displaystyle{ (z-1)^{n}}\), nie rozważywszy wcześniej przypadku \(\displaystyle{ z=1}\), bo nie wolno dzielić przez zero. Widzimy, że dla \(\displaystyle{ z=1}\) równość nie zachodzi, a dalej zakładamy \(\displaystyle{ z\neq 1}\) i dopiero wtedy dzielimy.
Po drugie z \(\displaystyle{ \frac{(z+1)^{n}}{(z-1)^{n}}=1}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ z=+/-1}\) - tak jest w liczbach rzeczywistych, do których możesz być przyzwyczajony, ale tu są zespolone. Poczytaj o pierwiastkach zespolonych n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).

[wojtek11530]

Czyli powinno być
dla \(\displaystyle{ z=1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n} =0^{n}}\)
sprzeczne, brak rozwiązań
lub
dla \(\displaystyle{ z \neq 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1}= \sqrt[n]{1}= \cos \frac{2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{2k\pi}{n}}\)gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,3,...,n-1}\)
doprowadzilem do równości
\(\displaystyle{ z= \frac{\cos \frac{2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{2k\pi}{n}+1}{\cos \frac{2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{2k\pi}{n}-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,3,...,n-1}\)
Nie wiem czy można to zostawić już jako rozwiązanie czy robić coś dalej

[Premislav]

Teraz jest dobrze.-- 17 paź 2015, o 19:15 --Moim zdaniem można to zostawić w tej postaci.