Musze znaleźć równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mające pierwiastki:
\(\displaystyle{ z+z ^{4}}\) oraz\(\displaystyle{ z ^{2} +z ^{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ z=\cos \left( \frac{2 \pi }{5} \right)+i \cdot \sin \left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\)
Z góry dzięki za pomoc
znajdź równanie o pierwiastkach
znajdź równanie o pierwiastkach
Ostatnio zmieniony 18 paź 2015, o 17:07 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
znajdź równanie o pierwiastkach
Można wyliczyć na pałę \(\displaystyle{ z+z^{4}}\) oraz \(\displaystyle{ z^{2}+z^{3}}\), wykorzystując po drodze wzór de Moivre'a i dalej kombinować.
Ale można też zauważyć, że wielomian zespolony stopnia drugiego ma co najwyżej dwa pierwiastki w \(\displaystyle{ \CC}\), a gdy \(\displaystyle{ z\in \CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to również \(\displaystyle{ \bar{z}}\) jest jego pierwiastkiem. Przeto mamy \(\displaystyle{ z^{4}+z=z^{3}+z^{2}}\) lub \(\displaystyle{ z^{4}+z=\overline{z^{3}+z^{2}}}\). Tę pierwszą równość spełniają cztery liczby zespolone (z zasadniczego tw. algebry mamy co najwyżej cztery - cztery licząc z krotnościami, a o tym, ze cztery różne i jakie dokładnie, można się przekonać, przerzucając na jedną stronę i grupując, po czym rozkładając na czynniki): zero, jeden oraz pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^{2}-z+1=0}\), które są w szczególności pierwiastkami zespolonymi trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\) (znany wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów na to naprowadza), a więc nie mogą być równe
\(\displaystyle{ cos\left( \frac{2 \pi }{5} \right)+i*sin\left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\) (bo ze wzoru de Moivre'a wynika, że po podniesieniu do trzeciej potęgi część urojona zostałaby niezerowa).
Pozostaje więc możliwość \(\displaystyle{ z^{4}+z=\overline{z^{3}+z^{2}}}\). Wyliczamy np. \(\displaystyle{ z^{3}}\) i \(\displaystyle{ z^{2}}\) z de Moivre'a i dodajemy, po czym bierzemy o takie równanie:
\(\displaystyle{ (w-(z^{3}+z^{2}))(w+(z^{3}+z^{2}))=0}\) (no i jak ktoś chce byc purysta, to jeszcze to rozpisze tak, żeby było widać, ze współczynniki są rzeczywiste).
Taki długi elaborat, a pozwolił tylko na pominięcie paru obliczeń, szybciej byłoby od razu policzyć.
Mam nadzieję, że nie przerasta cię policzenie \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\), gdy masz dane \(\displaystyle{ z}\).
Ale można też zauważyć, że wielomian zespolony stopnia drugiego ma co najwyżej dwa pierwiastki w \(\displaystyle{ \CC}\), a gdy \(\displaystyle{ z\in \CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to również \(\displaystyle{ \bar{z}}\) jest jego pierwiastkiem. Przeto mamy \(\displaystyle{ z^{4}+z=z^{3}+z^{2}}\) lub \(\displaystyle{ z^{4}+z=\overline{z^{3}+z^{2}}}\). Tę pierwszą równość spełniają cztery liczby zespolone (z zasadniczego tw. algebry mamy co najwyżej cztery - cztery licząc z krotnościami, a o tym, ze cztery różne i jakie dokładnie, można się przekonać, przerzucając na jedną stronę i grupując, po czym rozkładając na czynniki): zero, jeden oraz pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^{2}-z+1=0}\), które są w szczególności pierwiastkami zespolonymi trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\) (znany wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów na to naprowadza), a więc nie mogą być równe
\(\displaystyle{ cos\left( \frac{2 \pi }{5} \right)+i*sin\left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\) (bo ze wzoru de Moivre'a wynika, że po podniesieniu do trzeciej potęgi część urojona zostałaby niezerowa).
Pozostaje więc możliwość \(\displaystyle{ z^{4}+z=\overline{z^{3}+z^{2}}}\). Wyliczamy np. \(\displaystyle{ z^{3}}\) i \(\displaystyle{ z^{2}}\) z de Moivre'a i dodajemy, po czym bierzemy o takie równanie:
\(\displaystyle{ (w-(z^{3}+z^{2}))(w+(z^{3}+z^{2}))=0}\) (no i jak ktoś chce byc purysta, to jeszcze to rozpisze tak, żeby było widać, ze współczynniki są rzeczywiste).
Taki długi elaborat, a pozwolił tylko na pominięcie paru obliczeń, szybciej byłoby od razu policzyć.
Mam nadzieję, że nie przerasta cię policzenie \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\), gdy masz dane \(\displaystyle{ z}\).
znajdź równanie o pierwiastkach
Muszę także na podstawie tego równania wywnioskować ile to jest \(\displaystyle{ cos\left( \frac{2 \pi }{5} \right)}\)
Jak to zrobić?
Jak to zrobić?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
znajdź równanie o pierwiastkach
Może ze wzorów Viete'a? Wszak suma pierwiastków tego trójmianu (a na to masz wzór) to \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}+\overline{z^{3}+z^{2}}=2\Re(z^{3}+z^{2})=2\Re(z^{3})+2\Re(z^{2})=\\=2\cos\left( \frac{6\pi}{5} \right)+2\cos\left( \frac{4\pi}{5} \right)}\) (znowu wzór de Moivre'a). Jak podzielisz stornami przez dwa i zastosujesz wzór na sumę cosinusów, to dostaniesz po małych przekształceniach cosinus kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), a stąd do podwojonego już rzut beretem.
Pewnie można jakoś sprytniej, ale ja nie umiem.
Pewnie można jakoś sprytniej, ale ja nie umiem.
znajdź równanie o pierwiastkach
Hmmm, ale b w moim trójmianie to:
\(\displaystyle{ 4 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)}\)
Wieć korzystając z wzórów Viete'a tym sposobem dojdę że do \(\displaystyle{ 1=1}\).
Może źle policzyłem b w tym trójmianie?
Szukany wielomian wyszedł mi: \(\displaystyle{ w ^{2} +4 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)w+\left( 2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)}\)
Wieć korzystając z wzórów Viete'a tym sposobem dojdę że do \(\displaystyle{ 1=1}\).
Może źle policzyłem b w tym trójmianie?
Szukany wielomian wyszedł mi: \(\displaystyle{ w ^{2} +4 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)w+\left( 2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)\right) ^{2}}\)
Ostatnio zmieniony 18 paź 2015, o 17:07 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
znajdź równanie o pierwiastkach
OK, to ja to może sprawdzę: \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}=\cos\left( \frac{6\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{6\pi}{5} \right)+\cos\left( \frac{4\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{4\pi}{5} \right)=\\=2\cos\pi\cos \left(\frac{\pi}{5}\right)+2i\sin \pi\cos \left(\frac{\pi}{5}\right)=-2\cos\left( \frac{\pi}{5} \right)}\)
i tutaj się okazuje, że moje rozumowanie było jakieś ułomne, bo obawiam się, że \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) wyjdzie inne niż mi się zdawało:
\(\displaystyle{ z^{4}+z=\cos\left( \frac{8\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{8\pi}{5} \right)+\cos\left( \frac{2\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{2\pi}{5} \right)=\\=2\cos \pi\cos\left( \frac{3\pi}{5} \right)+2i\sin\pi\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right)=-2\cos\left( \frac{3\pi}{5} \right)}\)
Czyli Twój polinomiał to powinien być \(\displaystyle{ \left(w+2\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right) \right)\left(w+2\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \right)}\). Nakłamałem Ci poprzednio (tylko sam nie wiem gdzie dokładnie) i stąd taki wielomian... Jako że funkcja cosinus dla rzeczywistych przyjmuje wartości rzeczywiste, to można uznać, że to załatwia pierwszą część zadania, tylko że z takiego podejścia faktycznie nie wyciśniemy cosinusa dwa pi przez pięć. Ja się poddaję, za durny jestem.
Ale jestem pewien, ze nie trzeba tego było liczyć z jakichś sum cosinusów, tylko można sprytniej, ale jestem za mało inteligentny, żeby wpaść na to, w jaki sposób to zrobić (postać wykładnicza na oko wiele by tu nie dała, a innych pomysłów nie mam).
Przepraszam, nie rozumiem matematyki.
-- 17 paź 2015, o 18:51 --
Mam chyba rozwiązanie. Ale jest ono nawet ładne.
liczba \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem zespolonym piątego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), więc jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ w^{5}-1=0}\), a to się przepisuje dzięki wzorom skróconego mnożenia jako
\(\displaystyle{ (w-1)(w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z\neq 1}\) (no szanujmy się, tego nie będziemy wykazywać), to \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1=0}\), a więc \(\displaystyle{ z^{4}+z^{3}+z^{2}+z=-1}\). Skoro \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) mają być pierwiastkami pewnego trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ aw^{2}+bw+c}\), to skoro mamy \(\displaystyle{ z^{4}+z^{2}+z^{2}+z=-1}\), więc ze wzorów Viete'a otrzymamy \(\displaystyle{ -\frac{b}{a}=-1}\), tj. \(\displaystyle{ b=a}\). Możemy ten trójmian unormować i wtedy \(\displaystyle{ a=b=1}\). A wtedy współczynnik \(\displaystyle{ c}\) to - ponownie ze wzorów Viete'a - iloczyn \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) i \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\), czyli...
spróbuj dokończyć.
i tutaj się okazuje, że moje rozumowanie było jakieś ułomne, bo obawiam się, że \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) wyjdzie inne niż mi się zdawało:
\(\displaystyle{ z^{4}+z=\cos\left( \frac{8\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{8\pi}{5} \right)+\cos\left( \frac{2\pi}{5} \right)+i\sin\left( \frac{2\pi}{5} \right)=\\=2\cos \pi\cos\left( \frac{3\pi}{5} \right)+2i\sin\pi\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right)=-2\cos\left( \frac{3\pi}{5} \right)}\)
Czyli Twój polinomiał to powinien być \(\displaystyle{ \left(w+2\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right) \right)\left(w+2\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) \right)}\). Nakłamałem Ci poprzednio (tylko sam nie wiem gdzie dokładnie) i stąd taki wielomian... Jako że funkcja cosinus dla rzeczywistych przyjmuje wartości rzeczywiste, to można uznać, że to załatwia pierwszą część zadania, tylko że z takiego podejścia faktycznie nie wyciśniemy cosinusa dwa pi przez pięć. Ja się poddaję, za durny jestem.
Ale jestem pewien, ze nie trzeba tego było liczyć z jakichś sum cosinusów, tylko można sprytniej, ale jestem za mało inteligentny, żeby wpaść na to, w jaki sposób to zrobić (postać wykładnicza na oko wiele by tu nie dała, a innych pomysłów nie mam).
Przepraszam, nie rozumiem matematyki.
-- 17 paź 2015, o 18:51 --
Mam chyba rozwiązanie. Ale jest ono nawet ładne.
liczba \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem zespolonym piątego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), więc jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ w^{5}-1=0}\), a to się przepisuje dzięki wzorom skróconego mnożenia jako
\(\displaystyle{ (w-1)(w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ z\neq 1}\) (no szanujmy się, tego nie będziemy wykazywać), to \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ w^{4}+w^{3}+w^{2}+w+1=0}\), a więc \(\displaystyle{ z^{4}+z^{3}+z^{2}+z=-1}\). Skoro \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) mają być pierwiastkami pewnego trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ aw^{2}+bw+c}\), to skoro mamy \(\displaystyle{ z^{4}+z^{2}+z^{2}+z=-1}\), więc ze wzorów Viete'a otrzymamy \(\displaystyle{ -\frac{b}{a}=-1}\), tj. \(\displaystyle{ b=a}\). Możemy ten trójmian unormować i wtedy \(\displaystyle{ a=b=1}\). A wtedy współczynnik \(\displaystyle{ c}\) to - ponownie ze wzorów Viete'a - iloczyn \(\displaystyle{ z^{4}+z}\) i \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}}\), czyli...
spróbuj dokończyć.
znajdź równanie o pierwiastkach
Tu jest ten cosinus fajnie rozwiązany.
Tylko nie wiem skąd wzięło się to równanie z x'em? /ktoś pomoże?/
Szukany wielomian udało mi się już dobrze wyznaczyć.