Interpretacja geometryczna argumentow liczby zespolonej

[jarodol]

Witam

mam problem z trzema przykładami z liczb zespolonych. Trzeba je przedstawić na płaszczyźnie

a) \(\displaystyle{ \left\{ z \in C; arg( \frac{z+1}{1-z} = \frac{ \pi }{2} \right\}}\)

b) \(\displaystyle{ \left\{ z \in C; \frac{ \pi }{4} \le arg( \frac{i}{z} \le \frac{ 3\pi }{4}, |-z-3+i|<5 \right\}}\)

c) \(\displaystyle{ \left\{ z \in C; 2re( \frac{1}{z} > 1 \right\}}\)

Największy problem sprawia mi ogarnięcie tych argumentów, tzn jak z takiej calej liczby zespolonej wydobyć te argumenty i je narysowac

Z gory dzieki za pomoc

[Premislav]

Skoro tak... wskazówka: \(\displaystyle{ \arg(z\cdot w)=\arg(z)+\arg(w)+2k\pi, k\in \ZZ}\).
aha, poza tym \(\displaystyle{ |-z-3+i|}\) to odległość liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) od liczby \(\displaystyle{ i-3}\) na płaszczyźnie zespolonej, więc \(\displaystyle{ |-z-3+i|<5}\) można interpretować jako pewne koło na płaszczyźnie zespolonej (bez brzegu).
Wreszcie \(\displaystyle{ \Re \left( \frac{1}{z}\right)=\Re \left( \frac{\bar{z}}{\left| z\right|^{2} } \right)= \frac{\Re(z)}{\left| z\right|^{2} }}\) (bo \(\displaystyle{ \Re(z)=\Re(\bar{z})}\)).

[jarodol]

ok. tą wartosc bezwzgedna teraz rozumiem. ale podpowiedz odnosnie argumentow mi niewiele dala bo ja chyba nie rozumiem za bardzo czym w ogole ten argument liczby jest.
przyklad c) w calosci ogarniety dzieki tej podpowiedzi - nie znalem takiej wlasnosci

[Premislav]

Chodzi o argument kątowy liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej - jest on wyznaczony z dokładnością do wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) (bo sinus i cosinus sa okresowe z takim okresem głównym). Jak masz liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\) i powiedzmy, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}\left( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+i \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right)}\) - z interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie zespolonej łatwo widać, że \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) to odległość euklideoswa \(\displaystyle{ z}\) od zera na tejże płaszczyźnie, zaś liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\) są z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\), a suma ich kwadratów daje \(\displaystyle{ 1}\), więc istnieje taki kąt \(\displaystyle{ phi in [0,2pi)}\), że \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\cos\phi \wedge \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\sin\phi}\). No i mamy postać trygonometryczną.

-- 17 paź 2015, o 18:10 --

Takie \(\displaystyle{ \phi}\) to własnie \(\displaystyle{ \arg(z)}\) -wyznaczony z dokładnością do krotności \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[Rooster]

ok. tą wartosc bezwzgedna teraz rozumiem. ale podpowiedz odnosnie argumentow mi niewiele dala bo ja chyba nie rozumiem za bardzo czym w ogole ten argument liczby jest.
przyklad c) w calosci ogarniety dzieki tej podpowiedzi - nie znalem takiej wlasnosci

Przepraszam za podpięcie do tematu, ale czy mógłbyś pokazać w jaki sposób rozrysowałeś ten przykład c?

Czy jest to obszar koła o środku w \(\displaystyle{ (1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\)? Brzegi przerywane?