Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Rooster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 40 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: Rooster »

Witam!

Zwracam się Do was z pytaniem o interpretację geometryczną takiego oto przykładu:
\(\displaystyle{ z\in \mathbb{C}.}\)

\(\displaystyle{ arg\left( \frac{z+1}{i} = \frac{3}{2} \pi\right)}\)

Jak powinienem podejść do takiego zadania?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2015, o 18:54 przez Rooster, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: kropka+ »

Powinno być pewnie
\(\displaystyle{ arg\left( \frac{z+1}{i} \right)= \frac{3}{2} \pi}\)
Ty masz to chyba narysować na płaszczyźnie zespolonej a nie w przestrzeni, co?
Co oznacza argument liczby zespolonej?
Gdzie w takim razie musi leżeć \(\displaystyle{ \frac{z+1}{i}}\) ?
Podstaw \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i wykonaj dzielenie
Jakie warunki muszą spełniać \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ?
Narysuj to.
Rooster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 40 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: Rooster »

Dziękuję za odpowiedź. Właśnie oryginalnie zapis był nieco czytelny, ale prawdopodobnie jest tak jak napisałaś.

Rysunek ma być na płaszczyźnie, ale chciałem pomóc sobie w zrozumieniu tego.

Podstawiając:
\(\displaystyle{ \frac{x + yi + 1}{i}}\)

dostaję:

\(\displaystyle{ -i(x + iy + 1) = y - i(x+1)}\)

Jeżeli chodzi o warunki... Czy masz myśli kwestię, że jeśli x będzie mniejsze od zera, to wtedy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \frac{y}{x}\right) + \pi}\)

Tylko czy tu nie będzie sprzeczności? W sensie arctg musiałby przyjąć "nieskończoność", żeby dostać \(\displaystyle{ \pi/2}\) i w sumie z \(\displaystyle{ \pi}\) otrzymać \(\displaystyle{ 3/2 \pi}\)?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2015, o 09:36 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich symboli/wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: yorgin »

Dziwne podejście do zadania.

\(\displaystyle{ \arg \frac{z+1}{i}=\arg(z+1)-\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi}\)

skąd

\(\displaystyle{ \arg (z+1)=0}\).

Innymi słowy, \(\displaystyle{ z+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ z+1=a}\) dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\).
Rooster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 40 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: Rooster »

Dziękuję za odpowiedź.

Czyli na płaszczyźnie to będzie tylko oś \(\displaystyle{ OX}\)?

Mam na myśli już sam rysunek.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: AiDi »

\(\displaystyle{ z+1=a}\) dla \(\displaystyle{ a\ge0}\), czyli:
\(\displaystyle{ x+1+iy=a}\), skąd \(\displaystyle{ x+1=a}\) oraz \(\displaystyle{ y=0}\). Skoro \(\displaystyle{ a\ge0}\), to na rysunku jest to półprosta domknięta z lewej strony i zaczynająca się w \(\displaystyle{ -1}\), czyli nie cała oś \(\displaystyle{ OX}\)
Rooster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 40 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: Rooster »

Przepraszam, rzeczywiście przesadziłem.

W kwestii usystematyzowania:

1. Gdyby tam było \(\displaystyle{ \arg(z) = 0}\) to wtedy taka sama półprosta, tylko zaczepiona w \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

2. Gdyby było np. \(\displaystyle{ \arg(10 \cdot z) = 0}\) to niczego to nie zmienia i oznaczenie na osi pozostaje to samo?

3. Jeśli drugie prawdziwe, to czy z dzieleniem byłoby tak samo? Mam na myśli dzielenie przez rzeczywisty i dodatni czynnik np. \(\displaystyle{ \arg\left(\frac{z}{10} \right) = 0}\).
Ostatnio zmieniony 16 paź 2015, o 11:07 przez Rooster, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: AiDi »

Dzielenie to mnożenie przez liczbę odwrotną, zatem nic to nie zmienia Ale tylko i wyłącznie dlatego, że mnożysz przez liczbę dodatnią. Zmiana by nastąpiła, gdybyśmy mnożyli przez liczbę ujemną.
Rooster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 7 lut 2012, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 40 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: Rooster »

Dziękuję.
Gdyby było np. \(\displaystyle{ arg(-z + 1) = 0}\)
to wtedy rozwiązanie analogicznie:
\(\displaystyle{ (-\infty, 1)}\) ?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2015, o 11:39 przez Rooster, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Interpretacja geometryczna - argument liczby zespolonej

Post autor: AiDi »

Tak Właśnie zwróciłem uwagę na fakt, iż ma być \(\displaystyle{ a>0}\), a nie \(\displaystyle{ a\ge0}\), gdyż o ile mi wiadomo dla liczby \(\displaystyle{ 0}\) argument jest nieokreślony. Wtedy wszystkie przedziały są otwarte.
ODPOWIEDZ