nierówność - dowód

xxmikolajx · Post autor: **xxmikolajx** » 14 paź 2015, o 21:36

Mam pytanie w jaki sposób dowodzi się \(\displaystyle{ |x-y| \ge ||x|-|y||}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to liczby zespolone.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 paź 2015, o 21:39

To się dowodzi z nierówności trójkąta. Zacznij tak: \(\displaystyle{ |x|=\bigl|(x-y)+y\bigr|}\) i zastosuj tę nierówność. Potem zamień rolami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Nierówność prawdziwa jest w każdej przestrzeni unormowanej. To, że mamy tu liczby zespolone, nie ma żadnego znaczenia. Dowód zawsze ten sam.

AdamL · Post autor: **AdamL** » 16 paź 2015, o 17:05

Podnieś do kwadratu

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 16 paź 2015, o 20:05

To metoda właściwa dla przestrzeni unitarnej. Nierówność trójkąta idzie w każdej przestrzeni unormowanej. Płaszczyzna z normą maksimum bądź taksówkową jest unormowana, ale nie unitarna.