Cześć, na ćwiczeniach miałem zadanie, którego rozwiązania nie zrozumiałem
"Rozstrzygnij, dla jakich liczb naturalnych n równanie
\(\displaystyle{ \left| z-(1+i)^{n} \right|=z}\)
posiada rozwiązanie w liczbach zespolonych."
Polegało na zapisaniu
\(\displaystyle{ \left| z-w \right|=\left| z\right|}\) i przekształceniu na postać geometryczną, a następnie szukania rozwiązania, niestety nie zrozumiałem zamysłu i dalszej części rozumowania
Rozwiązaniami są takie n, które dają 0,1,7 modulo 8
Proszę o pomoc, zwłaszcza w "ten" sposób, każdy inny wraz ze wskazówkami bądź przekierowaniemi do zadań tego typu wcześniej umieszczonymi na forum będą również mile widziany
Znajdź wszystkie wyniki równania
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Znajdź wszystkie wyniki równania
Gdy obłożysz pan obie strony tej równości modułem, to zobaczysz, że moduł zeta, czyli no kurczę, odległość zeta od \(\displaystyle{ 0=0+0i}\) na płaszczyźnie zespolonej, musi być równa odległości zeta od \(\displaystyle{ (1+i)^{n}= 2^{\frac n 2}\left(\cos \frac {n\pi}{ 4}+i\sin \frac {n\pi}{ 4} \right)}\) na płaszczyźnie zespolonej. A liczba zespolona \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}\left(\cos \frac {n\pi}{4}+i\sin \frac {n\pi}{ 4} \right)}\) leży na okręgu na pł. zespolonej o środku w zerze i promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\). ale zpoczątkowej równości wychodzi, że \(\displaystyle{ z}\) musi być liczbą rzeczywistą dodatnią (bo jest równe pewnemu modułowi), czyli leży na półprostej \(\displaystyle{ \left\{ w \in \CC: \Im{w}=0 \wedge \Re(w) \ge 0\right\}}\). Nie wiem teraz, co to daje (może zrób sobie rysuneczeG), bo popatrzyłem na to zadanie z nudów, jako że lista z MUŻ mi się nie podoba, bo dużo liczenia.
Aha, no i dobierz cięciwy na tym całym okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ z=\Re(z)=\left| z\right|}\) i dla ustalonego zeta sprawdźmy, w jakich punktach okrąg o środku w \(\displaystyle{ z=\Re(z)=\left| z\right|}\) i promieniu left| z
ight| ... przetnie okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\). Popatrz, w jakich miejscach na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\) "lądują" liczby \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}\left(\cos \frac{n\pi}{4} +i\sin \frac{n\pi}{4}\right)}\) (można na to patrzeć modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\)). No i tu są jakieś rozważania geometryczne, kiedy odpowiednie cięciwy będą takie a takie.-- 14 paź 2015, o 22:01 --Niee, dochodzę do wniosku, że to nic nie da, lepiej było tego nie pisać.
Aha, no i dobierz cięciwy na tym całym okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ z=\Re(z)=\left| z\right|}\) i dla ustalonego zeta sprawdźmy, w jakich punktach okrąg o środku w \(\displaystyle{ z=\Re(z)=\left| z\right|}\) i promieniu left| z
ight| ... przetnie okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\). Popatrz, w jakich miejscach na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}}\) "lądują" liczby \(\displaystyle{ 2^{\frac n 2}\left(\cos \frac{n\pi}{4} +i\sin \frac{n\pi}{4}\right)}\) (można na to patrzeć modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\)). No i tu są jakieś rozważania geometryczne, kiedy odpowiednie cięciwy będą takie a takie.-- 14 paź 2015, o 22:01 --Niee, dochodzę do wniosku, że to nic nie da, lepiej było tego nie pisać.