Mam takie zadanie czy zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left\{z \in \mathbb{C} \setminus \left\{0\right\} : Re z = 0}\) lub \(\displaystyle{ Im z = 0\right\}}\) z działaniem mnożenia jest grupą?
Wnioskuje, że liczby te będą postaci \(\displaystyle{ z = a}\) lub \(\displaystyle{ z = bi}\). Stąd na pewno zachodzi aksjomat łączności, elementem neutralnym będzie \(\displaystyle{ 1}\), a odwrotnym \(\displaystyle{ z^{-1}=\frac{1}{a}}\) lub \(\displaystyle{ z^{-1}=\frac{1}{bi}}\). Czy to rozwiązanie jest dobre?
Czy podany zbiór liczb zespolonych z działaniem jest grupą?
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 10 paź 2015, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 25 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Czy podany zbiór liczb zespolonych z działaniem jest grupą?
Rozwiązanie jest dobre, natomiast łączności nie ma potrzeby sprawdzać. Własność ta jest dziedziczona przez podzbiory, a łączne jest mnożenie liczb zespolonych. Można to również wywnioskować korzystając z interpretacji mnożenia liczb zespolonych. Mnożenie to oznacza: 1) dodawanie argumentów liczb zespolonych (zauważ, że argumenty liczb z Twojego zbioru to \(\displaystyle{ \{0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\}}\)) i tworzą one grupę addytywną modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\), 2) mnożenie promieni, a każda z czterech półosi naszego zbioru reprezentująca odpowiedni kąt zawiera liczbę zespoloną o dowolnym dodatnim promieniu.