Czy podany zbiór liczb zespolonych z działaniem jest grupą?

[zagubiony_uzytkownik]

Mam takie zadanie czy zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left\{z \in \mathbb{C} \setminus \left\{0\right\} : Re z = 0}\) lub \(\displaystyle{ Im z = 0\right\}}\) z działaniem mnożenia jest grupą?

Wnioskuje, że liczby te będą postaci \(\displaystyle{ z = a}\) lub \(\displaystyle{ z = bi}\). Stąd na pewno zachodzi aksjomat łączności, elementem neutralnym będzie \(\displaystyle{ 1}\), a odwrotnym \(\displaystyle{ z^{-1}=\frac{1}{a}}\) lub \(\displaystyle{ z^{-1}=\frac{1}{bi}}\). Czy to rozwiązanie jest dobre?

[Dualny91]

Rozwiązanie jest dobre, natomiast łączności nie ma potrzeby sprawdzać. Własność ta jest dziedziczona przez podzbiory, a łączne jest mnożenie liczb zespolonych. Można to również wywnioskować korzystając z interpretacji mnożenia liczb zespolonych. Mnożenie to oznacza: 1) dodawanie argumentów liczb zespolonych (zauważ, że argumenty liczb z Twojego zbioru to \(\displaystyle{ \{0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\}}\)) i tworzą one grupę addytywną modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\), 2) mnożenie promieni, a każda z czterech półosi naszego zbioru reprezentująca odpowiedni kąt zawiera liczbę zespoloną o dowolnym dodatnim promieniu.