Równanie w liczbach zaspolonych

[Bitinful]

\(\displaystyle{ z^6=(2+4i)^6}\)

Bardzo proszę o pomoc, nie wiem jak ugryźć to zadanie, gdyż cosinus wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

[Premislav]

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ z=(2+4i)\left( \cos\frac{2k\pi}{6}+i\sin \frac{2k\pi}{6} \right), k=0,1...5}\)
Wyjaśnienie: łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ z=2+4i}\) spełnia to równanie, a stąd jeżeli jakieś \(\displaystyle{ z_{0} \in \CC}\) spełnia to równanie, to jest postaci \(\displaystyle{ (2+4i)w}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) jest taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ w^{6}=1}\) - tj. pierwiastkiem algebraicznym szóstego stopnia z jedynki, jest sześć sztuk takowych (ogólnie dla pierwiastka n-tego stopnia mamy \(\displaystyle{ n}\)).
Proponuję poczytać o pierwiastkach zespolonych z \(\displaystyle{ 1}\), przydają się.

[Bitinful]

A no rzeczywiście, dzięki wielkie A miałbyś może / miałby ktoś jakąś wskazówkę dla równania:

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}}\)

?

[Premislav]

\(\displaystyle{ z=0}\) spełnia to równanie, dalej załóż, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\), pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ z}\) i skorzystaj z tożsamości \(\displaystyle{ z\overline z=\left| z\right|^{2}}\).
Jaka musi być część urojona \(\displaystyle{ z^{12}}\)? Jaki musi być moduł \(\displaystyle{ z^{12}}\)?

-- 12 paź 2015, o 18:11 --

No i dalej przyda się wzór de Moivre'a.

[Bitinful]

Moduł wynosi 1, gdyż pierwiastkiem musi być także \(\displaystyle{ z=1}\)?

A skąd jeszcze w poprzednim wiadomo, że \(\displaystyle{ 2+4i}\) jest akurat pierwiastkiem głównym ?

[Premislav]

Moduł wynosi \(\displaystyle{ 1}\)

Dokładnie (skoro rozważyliśmy już \(\displaystyle{ z=0}\) i zakładamy \(\displaystyle{ z\neq 0}\)).

gdyż pierwiastkiem musi być także \(\displaystyle{ z=1}\)?

Myslałem o innym uzasadnieniu. \(\displaystyle{ \left| \left| z\right|^{2} \right|= \left| z\right|^{2}=\left| z^{12}\right|=\left| z\right|^{12}}\), a więc \(\displaystyle{ \left| z\right| \in \left\{ 0,1\right\}}\) (zerowy już rozważyliśmy, tj. \(\displaystyle{ z=0}\)).


Patrzysz na równanie \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\). Jakie \(\displaystyle{ z}\) na pewno je spełnia?
Nie wiem, co to jest pierwiastek główny, nie używałem tego pojęcia.-- 12 paź 2015, o 19:28 --Moim zdaniem nie ma znaczenia, który pierwiastek jest "główny", a który "niegłówny" (cokolwiek to ma znaczyć). Mamy równanie \(\displaystyle{ z^{n}=a}\) dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ a\in \CC}\) (powiedzmy, że niezerowego). Wielomian \(\displaystyle{ W(z)=z^{n}-a}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków w \(\displaystyle{ \CC}\), a gdy \(\displaystyle{ z_{0}}\) jest jego pierwiastkiem, to biorąc takie \(\displaystyle{ w}\), że \(\displaystyle{ w^{n}=1}\) i podstawiając w tym wielomianie \(\displaystyle{ z:=wz_{0}}\), dostajemy, że \(\displaystyle{ wz_{0}}\) również jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ W(z)}\).

[Bitinful]

Dzięki za odpowiedź. Mieliśmy, że pierwiastek główny to \(\displaystyle{ z_0= \sqrt[n]{\left| z\right| }(cos \frac{\phi}{n}+isin \frac{\phi}{n} )}\) i z tym ten wzór, który podałeś \(\displaystyle{ z_k=z_0 w_k}\).

Czyli z tego co mówisz wynikałoby, że można wziąć dowolny pierwiastek i pozostałe wyliczyć za pomocą tego dowolnego pierwiastka przy użyciu tego samego \(\displaystyle{ cos \frac{2k\pi}{n} + isin \frac{2k\pi}{n}}\) ?

@edit: Wyprzedziłeś mnie

Miałem jeszcze wzór, że iloczyn \(\displaystyle{ z_0z_1...z_{n-1}= \begin{cases} -z \\ z \end{cases}}\) odpowiednio dla n parzystego i nieparzystego. Jest coś takiego ?

[Premislav]

Powinno coś takiego być. Możesz zapisać \(\displaystyle{ z}\) w postaci trygonometrycznej, wywnioskować stąd, jaką postać trygonometryczną powinny mieć te pierwiastki n-tego stopnia (moduł normalnie pierwiastkujesz, a z argumenty kątowe będą postaci \(\displaystyle{ \frac{\phi}{n}+ \frac{2k\pi}{n}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,...n-1}\), gdzie phi jest argumentem kątowym (głównym) \(\displaystyle{ z}\)). No i oczywiście moduły po lewej wymnożą się ładnie do \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), zaś przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej argumenty kątowe dodajesz.

[Bitinful]

Okej wcześniej po długim rozmyslaniu też na to wpadłem i wyszło. Wszystko już jasne oprócz tego :

\(\displaystyle{ z^{12}=\left| z\right|^2}\)

Nie wiem jaki krok zrobić. Podstawić \(\displaystyle{ z=x+iy}\)?

[Premislav]

Nie nie nie, tak też można, ale to będzie okropnie żmudne.
Obserwacja nr 1: \(\displaystyle{ \Im(z^{12})=0}\) (dlaczego?)
Obserwacja nr 2: skoro rozważyliśmy \(\displaystyle{ z=0}\) (jest rozwiązaniem), to \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\)
(bo wychodzi \(\displaystyle{ \left| z\right|^{12}=\left| z\right|^{2}}\)). A zatem \(\displaystyle{ z=\cos \phi_{k}+i\sin \phi_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi_{k}}\) mają być takie, że (uwaga o cześci urojonej lewej strony+wzór de Moivre'a) \(\displaystyle{ \sin(12\phi_{k})=0}\).

[Bitinful]

Czyli po prostu pierwiastki 12-tego stopnia z 1? Bo prawa strona jest równa 1.

\(\displaystyle{ z_k=cos \frac{\pi}{12}k + isin \frac{\pi}{12}k}\), \(\displaystyle{ k=0,1,...,11}\)

Nie jestem tylko pewny skąd się wzięło \(\displaystyle{ \left| z^{12}\right| = \left| z\right|^2}\).

[Premislav]

Zgadza się. No i nie zapominaj, że na początku stwierdziliśmy, iż zero też jest rozwiązaniem.

Dostaliśmy \(\displaystyle{ z^{12}=\left| z\right|^{2}}\). Teraz w celu dokonania pewnej obserwacji możemy tę równość obłożyć modułem - bo z tego, że dwie liczby zespolone są równe wynika w szczególności, że mają one równe moduły. Ale oczywiście \(\displaystyle{ \left| \left| z\right|^{2} \right|=\left| z\right| ^{2}}\)

[Bitinful]

Ok już wszystko jasne Dzięki wielkie, wskazówki przydały się też przy innych zadaniach

[Premislav]

Nie ma sprawy.