Udowodnij równość

[zagubiony_uzytkownik]

\(\displaystyle{ |u(1 + |v|^{2}) - v(1 + |u|^{2})|^{2} = |u - v|^{2} \cdot |1 - u\bar{v}|^{2} - (u\bar{v} - \bar{u}v)^{2}}\)

Próbowałem coś upraszczać, ale chyba nie widzę tego co powinienem.

[szw1710]

Spróbuj po lewej wykorzystać równość \(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=|z|^2}\) (wcześniej sprawdzając, że jest prawdziwa).

[zagubiony_uzytkownik]

Wtedy dostanę \(\displaystyle{ |u - v + uv(\overline{v} - \overline{u})|^{2} = |u - v + uv(\overline{v} - \overline{u})| \cdot | \overline{u} - \overline{v} + \overline{uv}(v - u)|}\) lecz dalej nic sensownego nie widzę

[Premislav]

Prawa strona: zauważ, że to co masz pod jednym modułem to sprzężenie tego, co masz pod drugim modułem (wynika to z prostych własności sprzężenia: suma/różnica sprzężeń to sprzężenie sumy/różnicy, sprzężenie iloczynu to iloczyn sprzężeń) i skorzystaj z własności \(\displaystyle{ \left| a\right| \left| b\right|=\left| ab\right|}\)
oraz ponownie ze wspomnianej \(\displaystyle{ a\overline a=\left| a\right|^{2}}\)

Ajj, moje wskazówki były do tej ostatniej postaci, którą uzyskałeś, ale wcale nie napisałeś, czy to dostałeś, przekształcając równoważnie tezę, więc może to, co napisałem, nic Ci nie da.