Płaszczyzna zespolona

[nesti32]

Witam ponownie. Zetknąłem się dzisiaj z pewnym zadaniem, którego rozwiązania nie umiem znaleźć. Znalazłaby się osoba ktora wytłumaczyłaby jak się do niego zabrac?

\(\displaystyle{ arg( \frac{i}{i-z})= \frac{4 \pi }{3}}\)

Do tego jeszcze chciałym się upewnić. Czy rozwiazaniem \(\displaystyle{ arg(z^4)<\pi}\) jest zbiór \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\)

[Premislav]

Czy płaszczyzna zesolona to taka, na którą ktoś wysypał dużo soli? Ej, ale to wtedy chyba byłaby zasolona albo przesolona.

Pierwsze pytanie: \(\displaystyle{ \arg\left( \frac{i}{i-z} \right)= \frac{4\pi}{3}}\) oznacza, iż
\(\displaystyle{ \frac{i}{i-z}}\) możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ \left| \frac{i}{i-z} \right|\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)}\). To można pałować różnie. Ja proponowałbym pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \left| i-z\right|}\), a potem lewą przez sprzężenie.
Drugie pytanie: na pewno nie, przecież \(\displaystyle{ z}\) jest zespolone, a np. dla \(\displaystyle{ z=\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}= \frac{ \sqrt{3}+i }{2}}\) ta nierówność z argumentem zachodzi (wsk. wzór de Moivre'a).

[Lider_M]

Co do pierwszego to lepiej na początek skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2+2k\pi,k\in\mathbb{Z}}\), podobnie z dzieleniem liczb zespolonych.