Zbiór liczb spełniających równanie w płaszczyźnie zespolonej

Mar469 · Post autor: **Mar469** » 9 paź 2015, o 18:56

Witam. Mam podane następujące równanie:

\(\displaystyle{ Re\left[\frac{\left( z-1\right)}{\left( z+1\right) }\right]=0}\)

Rozwiązuje to w następujący sposób:

\(\displaystyle{ Re\left[ \left( z-1\right)\overline{z} \right] = 0}\)

\(\displaystyle{ Re\left[ \left( x+yi-1\right)\left( x-yi\right) \right] = 0}\)

\(\displaystyle{ Re\left( x^{2}-xyi+xyi+y^{2}-x+yi\right) =0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = x}\)

Moje pytanie brzmi: Gdzie robię błąd?
Rozwiązaniem (nie wiem czy poprawnym) tego równania jest zbiór punktów leżących na okręgu:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 19:05

Skąd to pierwsze przejście? Wygląda mi na to, że jest ono do bani.
moim zdaniem powinno być raczej \(\displaystyle{ \Re \left[(z-1)\overline{z+1}\right]=0}\).

Rozwiązanie faktycznie wychodzi \(\displaystyle{ \left| z\right|^{2}=1}\), czyli okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 9 paź 2015, o 19:14

Nie wychodzi okrąg jednostkowy. Co się dzieje dla \(\displaystyle{ z = -1}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 19:17

Słusznie, przepraszam.

Mar469 · Post autor: **Mar469** » 9 paź 2015, o 19:36

Medea 2 pisze:Nie wychodzi okrąg jednostkowy. Co się dzieje dla \(\displaystyle{ z = -1}\)?

Biorąc pod uwagę to, że chodzi tu o \(\displaystyle{ Re\left( z\right)}\), wydaje mi się, że nie ma tu jednostki urojonej, jednocześnie więc \(\displaystyle{ -1}\) nie może być pierwiastkiem \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2}}\). Mamy więc tylko jedną poprawną odpowiedź o której wspomniał Premislav, mianowicie:

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=1 \Leftrightarrow \left| z\right|^{2}=1}\)

Niech się wypowiedzą eksperci

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 20:22

Nie potrzeba tu ekspertów, \(\displaystyle{ z=-1}\) nie może należeć do zbioru rozwiązań równania
\(\displaystyle{ Re\left[\frac{\left( z-1\right)}{\left( z+1\right) }\right]=0}\),
gdyż \(\displaystyle{ -1}\) nie należy do dziedziny lewej strony.
Wynik to: \(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC: \left| z\right|^{2}=1 \right\} \setminus \left\{ -1\right\}}\), czyli okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej bez jednego punktu.