Dziedzina równania

wazka260196 · Post autor: **wazka260196** » 8 paź 2015, o 22:35

W jaki sposób mam wyznaczyć dziedzinę tego równania

\(\displaystyle{ \frac{x +yi}{x-yi} = \frac{9-2i}{9+2i}}\)

Wiem, że muszę przyrównać całość mianownika do zera żeby sprawdzić co ma "wypaść" z dziedziny, ale czy wystarczy rozważyć tylko \(\displaystyle{ x \neq 0}\)? Co z y?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 paź 2015, o 22:56

Ma być \(\displaystyle{ x-yi\neq 0}\). Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są rzeczywiste, to mamy \(\displaystyle{ a+bi=0 \Leftrightarrow a=b=0}\) (u Ciebie \(\displaystyle{ a:=x, b:=-y}\)).

wazka260196 · Post autor: **wazka260196** » 8 paź 2015, o 23:55

Czyli po prostu porównuję części rzeczywiste i urojone obydwóch liczb i tyle zawsze wystarczy. Zgadza się? Z góry przepraszam za tak banalne pytania ale jest to dla mnie nowy materiał i chcę mieć ze wszystkim jasność.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 07:32

Zgadza się.

wazka260196 · Post autor: **wazka260196** » 9 paź 2015, o 14:27

Między porównaniem dwóch części liczb zawsze ma być znak koniunkcji? Wykładowca wspominał coś dzisiaj o prawach de Morgana itp. ale niestety nie załapałem wątku. Mówił coś że jeżeli używamy znaku \(\displaystyle{ \neq}\) to musimy uważać na zapis. Czy ktoś może mniej więcej przybliżyć o co mogło mu chodzić?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 15:35

Napiszę może tak:
musisz odrzucić wszelkie takie przypadki, w których \(\displaystyle{ x-iy=0}\). Ale dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) mamy \(\displaystyle{ z=0 \Leftrightarrow \Re(z)=\Im(z)=0}\), tj. \(\displaystyle{ \Re(z)=0 \wedge \Im(z)=0}\). Dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \Re(a)=\Re(b)\wedge \Im(a)=\Im(b)}\). Zatem \(\displaystyle{ a\neq b \Leftrightarrow (\Re(a)\neq \Re(b) \vee \Im(a)\neq \Im(b))}\)

wazka260196 · Post autor: **wazka260196** » 9 paź 2015, o 17:33

Dlaczego w takim razie mam koniunkcję w postaci chociażby nawiasu klamrowego w układzie równań. Wydaje mi się że w takim wypadku nie powinno jej tam być...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 9 paź 2015, o 17:49

Jaką koniunkcję i jaki układ równań? Odnosisz się do czegoś z mojej wypowiedzi, czy do jakichś swoich zadań/dowodów z zajęć, których nie zamieściłeś? Bo tutaj to ja żadnych nawiasów klamrowych nie widzę.

Może łatwiej będzie Ci załapać ideę, jeśli odwołam się do \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), czyli do świata, z którym ma się do czynienia (przynajmniej będąc zwykłym człowiekiem) lata przed poznaniem liczb zespolonych.
Punkty \(\displaystyle{ (1,3)}\) i \(\displaystyle{ (1,4)}\) są różne, bo nie jest spełniona koniunkcja (równość pierwszych współrzędnych)\(\displaystyle{ \wedge}\)(równość drugich współrzędnych), gdyż \(\displaystyle{ 3\neq 4}\). Natomiast (tu właśnie działają prawa de Morgana) prawdziwe jest zaprzeczenie tej koniunkcji, tj. (brak równości pierwszych współrzędnych)\(\displaystyle{ \vee}\)(brak równości drugich współrzędnych) - bo konkretnie (\(\displaystyle{ 1,3)}\) i \(\displaystyle{ (1,4)}\) różnią się drugą współrzędną.
Podobnie masz z liczbami zespolonymi, wygodnie myśleć o \(\displaystyle{ \Re(z)}\) jako o współrzędnej na osi rzeczywistej i o \(\displaystyle{ \Im(z)}\) jako o drugiej współrzędnej - na osi urojonej.