Witam mam problem z rozwiązaniem poniższych przykładów. Bardzo proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ a) x^{3}=-1+i}\)
\(\displaystyle{ b) x^{3}=3+4i}\)
\(\displaystyle{ c) x^{6}=-27}\)
Równania w zbiorze liczb zespolonych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równania w zbiorze liczb zespolonych
Możesz zapisać prawe strony w postaci trygonometrycznej, a następnie moduły normalnie spierwiastkować, jak w \(\displaystyle{ \RR}\), zaś argumenty kątowe wyliczyć ze wzoru de Moivre'a (czy raczej ze wzoru wynikającego ze wzoru de Moivre'a; pamiętaj o okresowości sinusa i cosinusa!). no i oczywiście w pierwszym będą trzy rozwiązania, w drugim też trzy, a w trzecim sześć.
Np. w (a) masz \(\displaystyle{ -1+i= \sqrt{2}\left(\cos\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)\right)}\), naturalnie dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). I teraz ten wzorek:
\(\displaystyle{ z^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right),\\
\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)
Np. w (a) masz \(\displaystyle{ -1+i= \sqrt{2}\left(\cos\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)\right)}\), naturalnie dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). I teraz ten wzorek:
\(\displaystyle{ z^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right),\\
\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)
-
kaktus96
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 22 maja 2015, o 11:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
Równania w zbiorze liczb zespolonych
Kurde, strasznie gubię się z tym wzorem. Mógłbyś mi to rozpisać, bo to dla mnie nowe rzeczy i nie wiem, czy dobrze myślę?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Równania w zbiorze liczb zespolonych
No to masz
\(\displaystyle{ x^{3}=-1+i= \sqrt{2}\left(\cos\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)\right)}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), a zatem z tego wzoru jest
\(\displaystyle{ x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)\right)}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Po prostu moduł, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) spierwiastkowałem "normalnie", zaś argumenty kątowe podzieliłem przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo mamy pierwiastki trzeciego stopnia; jak w tym wzorze).
No i teraz wystarczy zauważyć, że ponieważ \(\displaystyle{ \cos(x+2k\pi)=\cos x}\), a także \(\displaystyle{ \sin(x+2k\pi)=\sin x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych i wszystkich \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), to wystarczy, że ograniczymy się do \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) (bo korzystając z tej okresowości, mamy
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)=\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} (k+3)\pi \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} (k+3)\pi \right)=\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)}\).
Czyli wstawiamy kolejno \(\displaystyle{ k=0, k=1, k=2}\) i mamy
\(\displaystyle{ x= 2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi k\pi \right)\right)\vee x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} \pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3}\pi \right)\right) \vee x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{4}{3} \pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{4}{3} \pi \right)\right)}\)
Podstawiasz wartości funkcji trygonometrycznych odpowiednich kątów (to powinnaś umieć z liceum/technikum, oczywiście \(\displaystyle{ \frac{3}{12}\pi= \frac{\pi}{4}=45^{\circ}}\) itd. ale dla klarowności tego nie upraszczałem) i po przykładzie.
Pozostałe przykłady zrób sama.-- 8 paź 2015, o 18:40 --Aha, wzory redukcyjne się przydadzą.
\(\displaystyle{ x^{3}=-1+i= \sqrt{2}\left(\cos\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{4}\pi+2k\pi \right)\right)}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), a zatem z tego wzoru jest
\(\displaystyle{ x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)\right)}\), \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Po prostu moduł, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) spierwiastkowałem "normalnie", zaś argumenty kątowe podzieliłem przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo mamy pierwiastki trzeciego stopnia; jak w tym wzorze).
No i teraz wystarczy zauważyć, że ponieważ \(\displaystyle{ \cos(x+2k\pi)=\cos x}\), a także \(\displaystyle{ \sin(x+2k\pi)=\sin x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych i wszystkich \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), to wystarczy, że ograniczymy się do \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) (bo korzystając z tej okresowości, mamy
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)=\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} (k+3)\pi \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} (k+3)\pi \right)=\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} k\pi \right)}\).
Czyli wstawiamy kolejno \(\displaystyle{ k=0, k=1, k=2}\) i mamy
\(\displaystyle{ x= 2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi k\pi \right)\right)\vee x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3} \pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{2}{3}\pi \right)\right) \vee x=2^{\frac 1 6}\left(\cos\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{4}{3} \pi \right)+i\sin\left( \frac{3}{12}\pi+ \frac{4}{3} \pi \right)\right)}\)
Podstawiasz wartości funkcji trygonometrycznych odpowiednich kątów (to powinnaś umieć z liceum/technikum, oczywiście \(\displaystyle{ \frac{3}{12}\pi= \frac{\pi}{4}=45^{\circ}}\) itd. ale dla klarowności tego nie upraszczałem) i po przykładzie.
Pozostałe przykłady zrób sama.-- 8 paź 2015, o 18:40 --Aha, wzory redukcyjne się przydadzą.