\(\displaystyle{ \left| z-1\right| +\left| z+1\right| =2}\)
Dochodzę do:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} =2}\), ale nie jestem pewny co dalej. Bardzo proszę o pomoc
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
Tak nie trzeba. Suma odległości \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ 1}\) i od \(\displaystyle{ -1}\) na płaszczyźnie zespolonej ma być równa \(\displaystyle{ 2}\). Narysuj to sobie. Wskazówka: \(\displaystyle{ z}\) nie może mieć niezerowej części urojonej, by ta równość była spełniona, bo wtedy dostajesz niezdegenerowany trójkąt o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (-1,0), (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (a,b)}\), gdzie \(\displaystyle{ b\neq 0}\), no i z nierówności trójkąta ta suma odległości wychodzi większa niż \(\displaystyle{ 2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
To będzie elipsa, bo jak wiadomo elipsa to zbiór punktów takich, że suma odległości od ustalonych dwóch jest stała.
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 22 lis 2009, o 17:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 4 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
Wiem już w miarę o co chodzi ale nie mam kompletnie pojęcia jak to zrobić bo na zajeciach mieliśmy tylko jeden przykład kompletnie z tym niespokrewniony. Moglibyście to jakoś krok po kroku wyjaśnić?
Byłbym bardzo wdzięczny
@edit: To będzie poprostu odcinek od tego -1 do 1 na osi rzeczywistej?
Byłbym bardzo wdzięczny
@edit: To będzie poprostu odcinek od tego -1 do 1 na osi rzeczywistej?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
Ja tu nie widzę elipsy i bardzo mnie to niepokoi, chyba nie rozumiem czegoś bardzo podstawowego z matematyki (bardzo możliwe). Łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ z=-1, z=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=1}\) należą do zbioru rozwiązań tego równania (np. bezpośrednio podstawiając), a nie ma elipsy, do której należą trzy współliniowe punkty.
1) Niech \(\displaystyle{ \left| z\right|>1}\). Wtedy z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ \left| z-1\right|+\left| z+1\right| \ge 2\left| z\right|>2}\), więc równość \(\displaystyle{ \left| z+1\right|+\left| z-1\right|=2}\) nie może zachodzić;
2) Niech \(\displaystyle{ \Im(z)\neq 0}\). W "Twojej" postaci odpowiada to \(\displaystyle{ y\neq 0}\) w równości
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} =2}\). ale z nierówności trójkąta dla normy euklidesowej i punktów \(\displaystyle{ (-1,0), (1,0), (x,y)}\) (konkretnie używamy tego, że suma odległości \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i odległości \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (1,0)}\) jest nie mniejsza niż odległość \(\displaystyle{ (-1,0)}\) od \(\displaystyle{ (1,0)}\)) mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} \ge \sqrt{\left[ 1-(-1)\right]^{2} }}\), a równość nie zachodzi, bo skoro \(\displaystyle{ y\neq 0}\), to punkty \(\displaystyle{ (-1,0)}\), \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie są współliniowe.
Pozostaje do rozważenia z całej płaszczyzny zespolonej tylko odcinek między \(\displaystyle{ (-1,0)=-1+0i}\) a \(\displaystyle{ (1,0)=1+0i}\) i łatwo się przekonać (zwłaszcza z rysunku), że dla każdego punktu z tego odcineczka żądana równość zachodzi.
Napisałem tak, bo czysto "geometryczna" próba objaśnienia tego chyba nie okazała się skuteczna. Ale tak naprawdę nikt tak raczej nie rozwiązuje tego typu zadań, patrzy się na własności czysto geometryczne, bo inaczej można się pociąć z liczbą koniecznych do zrobienia obliczeń, a szacowania nie zawsze działają.
Aha, jak nie przekonuje Cię argumentacja przy tej "środkowej" nierówności, to tutaj masz początek brzydkiego, algebraicznego dowodu:
1) Niech \(\displaystyle{ \left| z\right|>1}\). Wtedy z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ \left| z-1\right|+\left| z+1\right| \ge 2\left| z\right|>2}\), więc równość \(\displaystyle{ \left| z+1\right|+\left| z-1\right|=2}\) nie może zachodzić;
2) Niech \(\displaystyle{ \Im(z)\neq 0}\). W "Twojej" postaci odpowiada to \(\displaystyle{ y\neq 0}\) w równości
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} =2}\). ale z nierówności trójkąta dla normy euklidesowej i punktów \(\displaystyle{ (-1,0), (1,0), (x,y)}\) (konkretnie używamy tego, że suma odległości \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i odległości \(\displaystyle{ (x,y)}\) od \(\displaystyle{ (1,0)}\) jest nie mniejsza niż odległość \(\displaystyle{ (-1,0)}\) od \(\displaystyle{ (1,0)}\)) mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+1)^2+y^2} \ge \sqrt{\left[ 1-(-1)\right]^{2} }}\), a równość nie zachodzi, bo skoro \(\displaystyle{ y\neq 0}\), to punkty \(\displaystyle{ (-1,0)}\), \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie są współliniowe.
Pozostaje do rozważenia z całej płaszczyzny zespolonej tylko odcinek między \(\displaystyle{ (-1,0)=-1+0i}\) a \(\displaystyle{ (1,0)=1+0i}\) i łatwo się przekonać (zwłaszcza z rysunku), że dla każdego punktu z tego odcineczka żądana równość zachodzi.
Napisałem tak, bo czysto "geometryczna" próba objaśnienia tego chyba nie okazała się skuteczna. Ale tak naprawdę nikt tak raczej nie rozwiązuje tego typu zadań, patrzy się na własności czysto geometryczne, bo inaczej można się pociąć z liczbą koniecznych do zrobienia obliczeń, a szacowania nie zawsze działają.
Aha, jak nie przekonuje Cię argumentacja przy tej "środkowej" nierówności, to tutaj masz początek brzydkiego, algebraicznego dowodu:
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej
Rzeczywiście. Nie będzie elipsy. Gdyby po prawej stronie była liczba większa od \(\displaystyle{ 2}\), to była elipsa.