Obliczyć:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) ^{24}}\)
Przez wartości trygonometryczne nie idzie wzorem de Moivre'a, jak również podnoszenie do kwadratu mało daje...
Potęgowanie liczb zespolonych
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Zauważ, że \(\displaystyle{ \tg 15^{\mathrm{o}} = \tg\left(45^{\mathrm{o}}-30^{\mathrm{o}}\right) = \frac{\tg 45^{\mathrm{o}} - \tg 30^{\mathrm{o}}}{1+\tg 45^{\mathrm{o}} \tg 30^{\mathrm{o}}} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{9-3}=2-\sqrt{3}}\)
Stosunek części urojonej do rzeczywistej liczby w nawiasie to \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=2-\sqrt{3}}\)
Z tego wynika, że argumentem tej liczby jest \(\displaystyle{ 15^{\mathrm{o}} = \frac{\pi}{12}}\) czyli:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)^{24} = \left(\left|(1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right|^{24}\right)\exp\left({\frac{i\pi}{12}\cdot 24}\right)}\)
Tutaj widać że argumentem liczby spotęgowanej jest \(\displaystyle{ 2\pi}\) zatem jest to liczba rzeczywista równa po prostu:
\(\displaystyle{ \left|1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right|^{24} = \left(\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \right)^{24}= (2+\sqrt{3})^{12}}\)
Stosunek części urojonej do rzeczywistej liczby w nawiasie to \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=2-\sqrt{3}}\)
Z tego wynika, że argumentem tej liczby jest \(\displaystyle{ 15^{\mathrm{o}} = \frac{\pi}{12}}\) czyli:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)^{24} = \left(\left|(1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right|^{24}\right)\exp\left({\frac{i\pi}{12}\cdot 24}\right)}\)
Tutaj widać że argumentem liczby spotęgowanej jest \(\displaystyle{ 2\pi}\) zatem jest to liczba rzeczywista równa po prostu:
\(\displaystyle{ \left|1+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right|^{24} = \left(\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \right)^{24}= (2+\sqrt{3})^{12}}\)