Znaleźć granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) (jeśli istnieje) (\(\displaystyle{ z\in\CC}\) jest ustalone)
a) \(\displaystyle{ a_n=z^{2n}+z^n}\)
b) \(\displaystyle{ a_n=z^{n^2}}\)
Zarówno pierwsze i drugie potrafię zrobić dla \(\displaystyle{ |z|\neq 1}\). Znam twierdzenie, które mówi, że jeśli \(\displaystyle{ |z|=1}\), to ciąg o wyrazie \(\displaystyle{ z^n}\) jest zbieżny tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\). Tak więc wiem, że dla \(\displaystyle{ z\neq 1, z\neq -1}\) takiego, że \(\displaystyle{ |z|=1}\) granice ciągów \(\displaystyle{ z^{2n}}\) i \(\displaystyle{ z^n}\) nie istnieją, ale to nie musi oznaczać, że nie istnieje granica sumy tych ciągów.-- 2 paź 2015, o 14:38 --Dodam jeszcze jeden ciąg
\(\displaystyle{ a_n=z^{2^n}}\)
ze wskazówką, żeby w przypadku \(\displaystyle{ |z|=1}\) skorzystać z własności \(\displaystyle{ a_{n+1}=(a_n)^2}\)
Granica ciągu o wyrazach zespolonych
-
liu
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Granica ciągu o wyrazach zespolonych
Spróbujmy znaleźć jakiś związek rekurencyjny dla pierwszego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = z^{2n+2} + z^{n+1} = z^{2n+2} + z^{n+2} - z^{n+2} + z^{n+1} = z^2(z^{2n} + z^n) + (1-z)z^{n+1}}\), stąd
\(\displaystyle{ a_{n+1} - z^2a_n = (1-z)z^{n+1}}\).
Teraz jeżeli \(\displaystyle{ z \neq 1}\), to ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) wynikałaby zbieżność ciągu \(\displaystyle{ z^n}\).
\(\displaystyle{ a_{n+1} = z^{2n+2} + z^{n+1} = z^{2n+2} + z^{n+2} - z^{n+2} + z^{n+1} = z^2(z^{2n} + z^n) + (1-z)z^{n+1}}\), stąd
\(\displaystyle{ a_{n+1} - z^2a_n = (1-z)z^{n+1}}\).
Teraz jeżeli \(\displaystyle{ z \neq 1}\), to ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) wynikałaby zbieżność ciągu \(\displaystyle{ z^n}\).