liczby zespolone - potęgowanie

[az07]

Dla \(\displaystyle{ z=(1+i)( \sqrt{3}+i)}\) podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią n taką, że \(\displaystyle{ z^n}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

[Medea 2]

Zacznij od wyznaczenia argumentu \(\displaystyle{ z}\).

[az07]

OK. To np dla liczby \(\displaystyle{ z=1+i}\) mamy \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\).
i n=8.

[Premislav]

No tak, ale chodziło raczej o to, aby wyznaczyć argument liczby \(\displaystyle{ (1+i)(\sqrt{3}+i)}\) - w tym celu można wyznaczyć argument liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) (co zrobiłaś poprawnie), następnie argument liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3}+i}\) (albo na odwrót), a potem skorzystać ze wzoru na argument iloczynu liczb zespolonych. No i z de Moivre'a, żeby zakończyć rozwiązanie zadania.