Liczby zespolone równanie

[piotrekq94]

Mam takie zadanie:

Obliczyć: \(\displaystyle{ (-1-i)^{11}}\)

\(\displaystyle{ a=-1, b=-1 \\
\left|z \right|= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos {\phi}=- \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\sin {\phi}=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Ćwiartka trzecia, czyli \(\displaystyle{ \pi + \frac{ \pi }{3}= \frac{4}{3} \pi}\)

Dobrze zaczynam czy nie?

[Premislav]

Źle (ale prawie dobrze). Winno być \(\displaystyle{ \pi+\frac \pi 4= \frac{5}{4}\pi}\) - takiż argument kątowy mi wychodzi.-- 17 wrz 2015, o 11:27 --Zapewne pomyliłeś tylko wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) z pierwszej ćwiartki, dla której jest \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[NogaWeza]

Ja chciałbym dodać, że taki goły sinus to w przyrodzie nie występuje. Zawsze potrzebny jest argument, czyli np. \(\displaystyle{ \sin{\alpha}}\), \(\displaystyle{ \sin{\phi}}\) czy jakkolwiek byś sobie wspomnianego argumentu nie oznaczył.

[piotrekq94]

\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{11}= \left( \cos \frac{1}{4} \pi +i\sin \frac{1}{4} \pi \right)}\)

Czy taki powinien być ostateczny wynik?

edit: co do znaku \(\displaystyle{ {\phi}}\) zapomniałem go dopisać.

[Premislav]

Czyli jednak ćwiartka numer dwa.

No chyba nie.

Kocowy wynik powinien wyjść raczej o taki: \(\displaystyle{ (-1-i)^{11}= \sqrt{2} ^{11}\left(\cos \frac{1}{4} \pi -i\sin \frac{1}{4} \pi\right)}\)
Choć do tego trzeba podejść z dystansem, bo nie umiem liczyć.

[piotrekq94]

Ćwiartka numer 3 - mój błąd.
Źle spojrzałem na tabelkę.

Dlaczego w końcowym wyniku jest \(\displaystyle{ -}\) a nie \(\displaystyle{ +}\)?

[Premislav]

Ze wzoru de Moivre'a mamy \(\displaystyle{ \left(\cos \frac{5\pi}{4} +i\sin \frac{5\pi}{4} \right)^{11}=\cos \frac{55\pi}{4} +i\sin \frac{55\pi}{4}}\). Mamy też \(\displaystyle{ \sin(x+2k\pi)=\sin x}\) oraz\(\displaystyle{ \cos(x+2k\pi)=\cos x}\)dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych oraz \(\displaystyle{ \frac{55\pi}{4}=12\pi+ \frac{7\pi}{4}}\). Jest \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right)=\sin\left( -\frac{\pi}{4} \right)=-\sin\frac{\pi}{4}}\) - pierwsza równośc ponownie z tej okresowości, a druga z nieparzystości sinusa.

-- 17 wrz 2015, o 17:07 --

lol, "kocowy wynik", dobry agent ze mnie.

[piotrekq94]

Przykład numer dwa.

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i)^{19}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right|=2}\)

\(\displaystyle{ \cos {\phi}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin {\phi}=- \frac{1}{2}}\)

ćwiartka IV

\(\displaystyle{ {\phi}= \frac{11}{6} \pi}\)

Dobry początek?

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ \sin{\phi} = \frac{-1}{2}}\), poza tym wygląda ok. Teraz ponownie wzór de Moivre'a.

[piotrekq94]

Ostatecznie wyszło mi:

\(\displaystyle{ z^{19}=2^{19} \left( \cos \frac{5}{6} \pi +i\sin \frac{5}{6} \pi \right)}\)


Wynik ma być podany w postaci algebraicznej.

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ \cos{(\pi - \alpha)} = - \cos{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}}\)
To tak zwane wzory redukcyjne. Nie trzeba ich wszystkich znać na pamięć, jest prosta metoda ich wyznaczania, której opis z łatwością znajdziesz na wikipedii.
Teraz wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{6}}\) i z łatwością przekształcisz otrzymany wynik na postać algebraiczną.